Задача на нахождение угла между двумя скрещивающимися прямыми.

• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.

• 0˚ <∠(a; b)≤ 90˚.

• Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными даннымскрещивающимся.

• Две прямые называются перпендикулярными,

если угол между ними равен 90˚.

• Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

• При нахождении угла между прямыми используют:

1) формулу cosφ= для нахождения углаφмежду прямыми m и l, если стороны а и b треугольника АВС соответственно параллельны этим прямым;

2) формулуcosφ= или в координатной форме

 

cosφ =

 

для нахождения угла φмежду прямыми m и l, есливекторы (х₁;у₁;z₁) и (х₂;у₂;z₂) параллельнысоответственно этим прямым; в частности, длятого чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы = 0 или x₁·x₂ + y₁·y₂+z₁·z₂ = 0.

 

Пример.

В кубе ABCDA₁B ₁ C ₁ D₁ найдите угол между прямыми A₁D и D₁E, где Е – середина ребра CC₁.

 

 

Решение.

 

1-й способ.

 Пусть F – середина ребра ВВ₁, а –ребро куба, φ- искомый угол.

Так как A₁ F ǁ D₁ E  , то φ- угол при вершине A₁ в треугольнике A₁FD.

Из треугольника BFD имеем

FD ²= BD ²+ BF ²= 2 a ² + = ,

 

 а из треугольника A₁B₁F  получаем

 

A₁F² = A₁B₁² + B₁F² = a² + = , откуда

A₁F =

 

Далее в треугольнике A₁FD используем теорему косинусов

 

FD ² = A₁D² + A₁F² –2 A₁D·A₁F cosφ,

=2а² + - 2 ·  ·cosφ, откуда

 

cosφ = иφ = arccos .

Ответ: arccos  .

 

Й способ.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.

Тогда А₁(0; а; а), D(а; а; 0), D₁(а; а; а),

Е(а; 0; ).

Найдём координаты направляющих векторов прямых A₁D и D₁E

= , = .

 

Тогда

 

сosφ = = = .

cosφ = и φ = arccos  .

 

Ответ: arccos  .

 

Задача на нахождение угла между прямой и плоскостью.

• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этойпрямой и ее проекцией на данную плоскость.

• 0˚ <∠(a;α) < 90˚.

• Угол между взаимно перпендикулярными прямой и плоскостью равен 90˚.

• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0˚.

 

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить:

1) если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов;

2) по формуле sinφ = или в координатной форме

sinφ = , где

(x₁; y₁; z₁) - вектор нормали плоскости α,

(x₂; y₂; z₂) - направляющий вектор прямой l;

 

• прямая l и плоскость α параллельны тогда итолько тогда, когда

x ₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁ z₂ = 0.

Пример.

В кубе ABCDA₁ B₁ C₁ D₁ точка Е – серединаребра A₁ В₁. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ВDD₁.

 

Решение.

Й способ.

Угол между прямой АЕ и плоскостью ВDD₁ будем искать как угол между данной плоскостью и прямой DЕ₁, параллельной прямой АЕ.

Из точки Е₁ опустим перпендикуляр Е₁Е₂ на прямую В₁D₁.

Искомый угол – это угол между прямыми DE₂ и DE₁.

Пусть сторона куба равна а.

А₁С₁ =  а .

Е₁Е₂ = · А₁С₁ = ·а = .

 

DE₁ = = .

 

= =  : = =  = .

 

Ответ: .

 

Й способ.

 

 

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке.

Не нарушая общности задачи, обозначим длину ребра куба а.

За вектор нормали плоскости ВDD₁ возьмем вектор

Найдём координаты нужных точек.

А(0; 0; 0), Е(0; ; а), С(а; а; 0).

Тогда = , = .

 

sin φ = =  =  .

 

Ответ: .