Периодические последовательности

Другой важный класс двумерных последовательностей составляют периодические дискретные сигналы. Двумерную периодическую последовательность, как и ее одномерный аналог, можно рассматривать как сигнал, регулярно повторяющийся в пространстве. Однако, если учесть, что двумерный сигнал должен повторяться сразу в двух направлениях, формальное определение периодической двумерной последовательности оказывается сложнее определения периодической одномерной последовательности. Формулировку общего определения начнем с частного случая.

Рассмотрим двумерную последовательность , удовлетворяющую следующим условиям: , . (1.15б)

Эта последовательность обладает двойной периодичностью; ее значения повторяются, если переменная увеличивается на или если переменная увеличивается на . На рис. 1.6 приведено изображение такой последовательности. Величины и , представляющие минимальные положительные целые числа, для которых справедливы выражения (1.15), назовем горизонтальным и вертикальным интервалами периодичности последовательности .

Рис. 1.6. Двумерная периодическая последовательность с .

Из всех отсчетов только отсчетов последовательности оказываются независимыми; остальные отсчеты определяются условиями периодичности. Будем называть периодом последовательности любую связную область плоскости , содержащую точно отсчетов, если значения этих отсчетов независимы. Часто наиболее удобной формой периода является прямоугольник , однако это не единственная возможность. Например, область, заштрихованную на рис. 1.7, также можно рассматривать как один период периодической последовательности.

Рис. 1.7. Двумерная периодическая последовательность с периодом неправильной формы.

Теперь рассмотрим двумерную последовательность , которая удовлетворяет более общим условиям периодичности: , , (1.16б)

причем . Упорядоченные пары и можно рассматривать как векторы и , представляющие собой смещения от любого отсчета к соответствующим отсчетам двух других периодов (штрих обозначает операцию транспонирования, преобразующую упорядоченную пару в вектор-столбец). Один период такой последовательности заключен в области, имеющей форму параллелограмма, смежные стороны которого образованы векторами и . Читателю предлагается доказать, что число отсчетов в этой области равно . На рис. 1.8 представлена двумерная периодическая последовательность с и .

Рис. 1.8. Периодическая последовательность с векторами периодичности и .

Понятие периодичности легко обобщается на случай -мерных сигналов. Для простоты обозначим через упорядоченную группу из целочисленных переменных . Тогда представляет собой -мерную периодическую последовательность при условии, что существуют таких линейно независимых -мерных целочисленных векторов , что , . (1.18)

Векторы называются векторами периодичности, их можно использовать в качестве столбцов матрицы размерностью , называемой матрицей периодичности: . (1.19)

Требование линейной независимости векторов периодичности эквивалентно требованию наличия у матрицы ненулевого определителя. В частном случае, когда - диагональная матрица, можно сказать, что последовательность прямоугольно периодична. Именно этот частный случай был рассмотрен выше.

Если периодична с матрицей периодичности , то для любого целочисленного вектора . (1.20)

Отсюда следует, что если - некоторая целочисленная матрица, то также будет матрицей периодичности для . Таким образом, любая периодическая последовательность имеет не единственную матрицу периодичности. Между прочим, можно отметить, что абсолютное значение определителя матрицы периодичности дает число отсчетов последовательности , содержащееся в одном периоде. Это обстоятельство будет использовано в гл. 2, в которой рассматривается -мерное дискретное преобразование Фурье.