Вопрос 2. Момент силы относительно центра

Проекция силы на ось – это алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и вектором силы (т.е. это отрезок, откладываемый силой на соответствующие оси. Рисунок 1.13):

 

F_x= Fcosα;

P_x= Pcosβ= P ⋅ cos90^o=0;

R_x=Rcosγ = -R ⋅ cos(180^o-γ).

 

Рисунок 1.13

 

Проекция силы на ось может быть положительной, рис. 1.13а (0 ≤ α < π/2), равной нулю, рис. 1.13б (β = π/2) и отрицательной, рис. 1.13в (π/2 < γ ≤ π).

 

Иногда для нахождения проекции силы на ось сначала нужно найти ее проекцию на плоскость, а потом проекцию на ось (рисунок 1.14):

 

P_z= P sinα;

P_x= (P cosα)cosβ;

Py= (P cosα)cosγ = P cosα ⋅ cos(90^o-β).

 

 

Рисунок 1.14

 

 

Вопрос 3.Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент были равны нулю, то есть система приводилась к случаю 5.2.1:

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую ось и суммы их моментов относительно этих осей были равны нулю.

Для системы параллельных сил в пространстве необходимо и достаточно выполнение трех условий:

 

Вопрос 4. Момент силы относительно осей

Пусть данное тело вращается вокруг оси Oz и пусть сила приложена в точке А. Проведем через точку А плоскость (ху) перпендикулярную Oz. Разложим силу на две составляющие и . Составляющая параллельна оси Оz и не может повернуть тело вокруг Oz. Таким образом, вращение дает составляющая и

Для принадлежащей плоскости Оxy и перпендикулярной оси Oz вращательный эффект равен произведению модуля силы на плечо h. Но этой же величиной измеряется момент силы относительно точки (центра) О.

Следовательно:

Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная моменту проекции этой силы на плоскость перпендикулярную оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью.

Если с вершины оси Oz вращение тела видим против хода часовой стрелки, то момент берем со знаком плюс (+), иначе - знак минус (-).

Замечания:

1. Если сила параллельна оси, то ее момент равен нулю.

2. Если линия действия силы пересекает ось, то ее момент равен нулю.

3. Если сила перпендикулярна оси, то ее момент равен произведению модуля силы на расстояние до оси.

Для получения аналитического выражения моментов силы относительно осей координат, спроектируем силу на плоскость Оху и разложим на составляющие и . (рис. 32 )

Аналогично можно записать для двух других осей.

Рассмотрим каким же образом осуществляется зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси.

Пусть в точке А на тело действует сила (рис. 33 ).

Моментом силы относительно произвольной точки О лежащей на оси Z, будет вектор перпендикулярный плоскости ОАВ.

Проведем через плоскость ху перпендикулярную . Спроектируем на плоскость :

Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси.

 

 31 рисунок
32 рисунок
33 рисунок

 

 

 

 

 5 вопрос Теорема Вариньона о моменте равнодействующей относительно оси

 Момент равнодействующей плоской системы сходящихся сил относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно того же центра.

 

Теорема: если данная система имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов слагаемых сил относительно той же оси.

Пусть на тело действует система сил (рис.35 )

Пусть эта система приводится к равнодействующей, проходящей через точку С. Приложив в этой точке силу мы приведем систему сил в равновесие и для нее будут выполняться условия (5.3.2). В частности для оси Ох:

Сделав замену в (5.4.1) получаем:

что и требовалось доказать.
35рисунок

 

 

 

Вопрос 6