Представление чисел с фиксированной запятой (точкой)

Естественная форма представления числа в цифровом автомате характеризуется тем, что положение его разрядов в автоматном изображении остается всегда постоянным независимо от величины самого числа.Существует также другое название этой формы записи чисел — представление чисел с фиксированной запятой (точкой).

Чтобы упростить функционирование цифрового автомата, необходимо ограничить входную информацию какой-то одной областью чисел (на вход автомата желательно подавать либо целые числа, либо правильные дроби, либо любые числа), что позволит определить значения масштабного коэффициента К_А. Например, если на вход цифрового автомата поступают только правильные дроби, то

где [ A ]_ф — машинное изображение числа для формы представления с фиксированной запятой.

Тогда число А будет представлено в виде А = [ A ]_ф К_А.

Величина масштабного коэффициента К_А, удовлетворяющего условию (3.19), определяет тот факт, что в машинном изображении запятая всегда стоит после целой части дроби, т. е. перед ее старшим разрядом. Следовательно, можно хранить только дробную часть числа (цифровую часть), а в разряде целой части писать дополнительную информацию.

Так как числа бывают положительные и отрицательные, то формат (разрядная сетка) автоматного изображения разбивается на знаковую часть и поле числа (рис. 3.2, а). В знаковую часть записывается информация о знаке. Примем, что знак положительного числа «+» изображается символом 0, а знак отрицательного числа «-» изображается символом 1.

Рис. 3.2. Представление чисел в форме с фиксированной запятой

Если на вход цифрового автомата поступают целые числа, например, как в ЕС ЭВМ, то в разрядной сетке (в формате машинного изображения) один разряд отводится под знак числа, а последующие разряды образуют поле числа. Диапазон представимых чисел в этом случае от -(2ⁿ -1) до + (2ⁿ - 1), где п — количество разрядов без знаковой части.

Задачу выбора масштабного коэффициента К_А усложняет необходимость сохранять соответствие разрядов всех чисел, которыми оперирует цифровой автомат. Пусть имеется цифровой автомат с разрядной сеткой длиной 12 двоичных разрядов (рис. 3.2, а). Надо определить масштабный коэффициент для чисел А ₁=-1011,0111110₂ и А₂ = 0,110001101₂.

Для того чтобы выполнить условие (3.19), необходимо число, большее по абсолютному значению, записать в виде . Отсюда , что соответствует величине масштабного коэффициента . Число А ₂должно войти в разрядную сетку автомата с сохранением соответствия разрядов, т. е. .Следовательно,  или  (рис. 3.2, б, в).

Из примера видно, что представление чисел в форме с фиксированной запятой может привести к погрешности представления. Так, для числа А ₂абсолютная погрешность представления оценивается величиной части числа, не уместившейся в разрядную сетку, т. е. величиной . В некоторых случаях очень малые числа представляются в машине изображением, называемым машинным нулем. Следовательно, ошибка представления зависит от правильности выбора масштабных коэффициентов. Вычисление последних должно проводиться таким образом, чтобы исключить возможность появления в процессе функционирования автомата чисел, машинные изображения которых не удовлетворяют условию (3.19). Если в результате операции появится число, по абсолютному значению большее единицы, то возникает переполнение разрядной сетки автомата, что нарушает нормальное функционирование цифрового автомата.