Тема: «Формирование базы правил нечеткой системы

Моделирования нелинейной системы»

Цель работы: Знакомство с методологией нечеткого моделирования. Описание заданной нелинейной функции множеством правил вида ЕСЛИ-ТО.

 

Теоретическая часть

Знакомство с методологией нечеткого моделирования. Описание предметной области может быть проведено посредством лингвистических переменных и правил естественного языка, содержащих качественную оценку ситуации. Основой для описания ситуации является нечеткое высказывание следующего вида:

xi есть Xi или xi = Xi,

где xi – некоторая величина, Xi – элемент терм-множества лингвистической переменной из исследуемой предметной области.

Нечеткая система выполняет отображение из входного пространства m A Ì Â в выходное пространство r B Ì Â. Такая система является системой типа «много_входов – много_выходов» (MIMO – multiple_input-multiple_output). Если система имеет m входов и r выходов и входное и выходное пространства являются многомерными, то входное пространство определяется как A = A ´ … ´ A_m, а выходное пространство – как B = B ´ … ´ B_r, где A_i,B_j Ì Â. Обозначим a = [a₁ a₂ … a_m]­^T и b = [b₁ b₂ … b_m]­^T как входной и выходной векторы, соответственно. Отображение вход/выход может быть представлено как множество нечетких правил типа «ЕСЛИ-ТО». Каждое правило состоит из двух частей: условной и заключительной. Антецедент или условная часть (ЕСЛИ-часть) содержит утверждение относительно значений входных переменных, в консеквенте или заключительной части (ТО-части) указываются значения, которые принимают выходные переменные. Таким образом, нечеткая система типа «много_входов – много_выходов» может быть задана нечеткими правилами следующего вида:

Правило 1: ЕСЛИ a₁ = A₁₁ И a₂ = A₂₁ … a_m = A_m1 ТО b₁ = B₁₁ И b₂ = B₂₁ И … И b_r = B_r1;

Правило 2: ЕСЛИ a₁ = A₁₂ И a₂ = A₂₂ … a_m = A_m2 ТО b₁ = B₁₂ И b₂ = B₂₂ И … И b_r = B_r2;

 ……….………………………………………………………………………

Правило n: ЕСЛИ a₁ = A_1n И a₂ = A_2n … a_m = A_mn ТО b₁ = B_1n И b₂ = B_2n И … И b_r = B_rn;

где a₁, a₂, …, a_m – входные переменные, b₁, b₂, …, b_r – выходные переменные, A_it и B_js – нечеткие области определения входных и выходных переменных, которые определены на универсальных множествах X₁, X₂,…, X_m, Y₁, Y₂, …, Y_r, соответственно. Каждая нечеткая область A_it связана с функцией принадлежности m_Ait(a_i).

Вход A нечеткой системы активизирует каждое из правил, хранимых в нечеткой ассоциативной памяти. Чем больше вход A соответствует антецеденту i-го правила, тем больше выход соответствует консеквенту этого правила.

Весьма популярными в практическом применении в настоящее время являются нечеткие системы типа «много_входов – один_выход». Система такого типа выполняет отображение из входного пространства A Ì Â^m в выходное пространство B Ì Â. Известно два основных типа нечетких систем «много_входов –один_выход».

Системы типа Мамдани имеют правила:

Правило i: ЕСЛИ a₁ = A_1i И a₂ = A_2i … И a_m = A_mi ТО b_i = B_i;

Другой тип – системы типа Сугено с правилами следующего вида:

Правило i: ЕСЛИ a₁ = A_1i И a₂ = A_2i … a_m = A_mi ТО b_i = f_i(a₁,… a_m); где f_i – функция, определенная на переменных a₁ … a_m.

Для описания отображения входного вектора a в значение b используются методы нечеткой логики, например, аппроксимация Мамдани или метод, основанный на формальном логическое доказательстве. В процессе вывода участвуют операции конъюнкции и дизъюнкции. Задание этих операций на основе триангулярных норм позволяет более гибко настраивать нечеткую систему на исследуемую предметную область.

В общем случае процесс создания нечетких систем состоит из следующих шагов:

1) определение входных и выходных переменных системы;

2) задание функций принадлежности каждой переменной;

3) определение нечетких правил;

4) настройка параметров функций принадлежности и нечетких правил.

При разработке базы правил необходимо руководствоваться следующими принципами:

1) в базе правил существует правило для всяких сочетаний A_1i, A_2i, …, A_mi, B_i;

2) нет двух и более правил с одинаковым антецедентом и различным консеквентом.

Для осуществления вывода в такой системе можно воспользоваться композиционным правилом. Однако предварительно нужно выполнить операции конъюнкции (И) и далее операцию объединения (агрегации) n правил.

Пусть на вход системы поступают четкие значений x₁, x₂. Требуется определить четкий выход y. Для этого необходимо выполнить следующие операции:

1) фаззификация – для каждого правила вычисляется значения  m_A1i(x₁) и m_A2i(x₂);

2) конъюнкция – объединение посылок в антецеденте каждого правила, используя t-нормальную функцию, получим T(m_A1i(x₁), m_A2i(x₂));

3) импликация – I(T(m_A1i(x₁), m_A2i(x₂)), m_Bi(y));

4) агрегация – получение нечеткого выходного значения из множества объединенных правил, то есть определение итоговой функции принадлежности m_Bi(y).

5) дефаззификация - преобразование итоговой функции принадлежности m_Bi(y) в четкое значение y.

Структура нечеткой системы моделирования представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Структура нечеткой системы моделирования

Пример: Описание заданной нелинейной функции множеством правил вида ЕСЛИ-ТО.

Пусть дана функция F(x) = sin(x) и следующие области изменения 0<x<y (Рисунок 2).

Рисунок 2 – Пример нелинейной функции

Лингвистические переменные, описывающие x и F, определены на следующем множестве термов: {очень малая, малая, средняя, большая, очень большая}. Функции принадлежности для указанных термов приведены на рисунках 3 и 4. Тогда нечеткая система моделирования указанной нелинейной функции будет задана следующей базой правил:

ЕСЛИ x = очень малая ТО F = средняя,

ЕСЛИ x = малая ТО F = очень большая,

ЕСЛИ x = средняя ТО F = средняя,

ЕСЛИ x = большая ТО F = очень малая,

ЕСЛИ x = очень большая ТО F = средняя.

Рисунок 3 – Пример функций принадлежности для переменной x

Рисунок 4 – Пример функций принадлежности для переменной F

 

Практическая часть

Задание:

1. Используя пакет Matlab, построить график выбранной нелинейной функции.

2. Выбранную нелинейную функцию описать базой правил для лингвистических переменных, описывающих x и F, определенных на множестве из пяти и девяти термов.

Вариант 4 – функция z=x²-y²; Область изменения x=-4<x<4; y=-4<y<4; z=-4<z<4. Так как в области изменения была найдена не точность, z была изменена на z=-16<z<16.

Рисунок 5

График функции построен с помощью MathLab:

%Построение графика функции z=x^2-y^2

[X,Y]=meshgrid(-4:0.1:4);

Z=X.^2.-Y.^2;

surf(X,Y,Z);

xlabel("Ось X");

ylabel("Ocь Y");

zlabel("Ось Z");

title("z=x^2-y^2");

Рисунок 6 – Модель Мамдани в Mathlab для функции z = x²-y²

 

 

 

Рисунок 7 – Параметры нечетких множеств для входа Х для 7 термов

 

 

Рисунок 8 – Параметры нечетких множеств для входа Y для 7 термов

 

 

Рисунок 9 - Параметры дефазификации модели для 7 термов

 

 

Рисунок 9 – Правила вывода разрабатываемой модели

 

Рисунок 10 – Результат построения модели

 

Вывод:   В данной практической работе были изучены методологии нечеткого моделирования. Описание заданной нелинейной функции множеством правил вида ЕСЛИ-ТО по типу вывода Мамдани.

Практическая работа №4