Вывод конечно-разностных уравнений, формулировка вычислительной схемы метода конечных разностей

Решаем поставленную в §2 граничную задачу методом конечных разностей, в результате чего получим приближенные значения функции , только в узлах прямоугольной сетки, покрывающей область D.

 - шаги разбиений по переменной  и по переменной ; узел (i,j) – это узел сетки, имеющий координаты (

В граничных узлах нам известны значение функции  или значение производной

(из граничных условий краевой задачи). В каждом внутреннем узле (i,j) от ДУЧП Лапласа переходим к конечно-разностному уравнению, заменяя частные производные на отношения конечных разностей:

Конечно-разностное уравнение:

Равенство (17), записанное для каждого внутреннего узла (i,j), представляет собой систему линейных алгебраических уравнений размером (9х9) относительно неизвестных . При этом в каждое уравнение входит 5 неизвестных: ar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>">  Эти неизвестные образуют «крест», поэтому говорят, что метод конечных разностей приводит ДУЧП Лапласа к конечно-разностной схеме в виде креста.

Решение системы уравнений (17) находим методом Гаусса. При этом значения , т.е. значения функции  в граничных узлах, считаем известными из граничных условий и переносим их в правые части уравнений.

В решаемой задаче на левой и на правой границах области D заданы были условия Нейтмана, т.е. условия для . Поэтому нужно эти условия перевести на функцию , заменить для этого частную производную  на отношение конечных разностей:

На верхней и нижней границе значения  и  берем как известные из граничных условий, а именно:

Для решения системы уравнений (17) методом Гаусса используем программу C ourse _ work. exe. Управляемые параметры задаем такие же, как и при табулировании значений функции, полученных методом Фурье:

Таблица значений функции , полученных методом конечных разностей:

y/x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	4.69536	4.94680	5.65354	6.88538	8.76443	11.47832	15.30182	20.63198	28.04840	38.42852	53.20205
8	8.96028	9.43829	10.78197	13.12356	16.69401	21.84701	29.09700	39.17770	53.13310	72.46362	99.36742
7	12.40661	13.06411	14.91247	18.13287	23.04106	30.11872	40.06146	53.84870	72.84265	98.92545	134.67950
6	14.72652	15.49905	17.67096	21.45439	27.21863	35.52535	47.18144	63.31299	85.46338	115.71604	156.83325
5	15.72250	16.53463	18.81791	22.79511	28.85375	37.58261	49.82599	66.75845	89.98183	121.64208	164.55441
4	15.32652	16.09905	18.27096	22.05439	27.81864	36.12537	47.78146	63.91299	86.06337	116.31603	157.43324
3	13.60661	14.26411	16.11247	19.33287	24.24106	31.31873	41.26147	55.04870	74.04266	100.12547	135.87950
2	10.76028	11.23829	12.58196	14.92356	18.49402	23.64701	30.89700	40.97769	54.93309	74.26362	101.16741
1	7.09536	7.34680	8.05354	|9.28538	11.16443	13.87832	17.70182	23.03198	30.44839	40.82851	55.60205
0	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3	3

 

Сравним значения функции U (x, y), вычисленные точным методом Фурье и приближенным методом конечных разностей. Для этого вычислим абсолютные и относительные погрешности в каждом из узлов (i,j).

;

 

Таблица абсолютных погрешностей

y/x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	0	0.03263	0.06107	0.08719	0.11195	0.13540	0.15665	0.17342	0.17989	0.15524	0
8	0	0.06191	0.11575	0.16491	0.21087	0.25304	0.28824	0.39865	0.29944	0.22243	0
7	0	0.08494	0.15862	0.22543	0.28690	0.34131	0.38266	0.39865	0.36696	0.25063	0
6	0	0.09960	0.18582	0.26358	0.33426	0.39513	0.43811	0.44802	0.40054	0.26260	0
5	0	0.10462	0.19513	0.27659	0.35029	0.41312	0.45629	0.46367	0.41068	0.26598	0
4	0	0.09960	0.18582	0.26359	0.33427	0.39514	0.43813	0.44802	0.40053	0.26260	0
3	0	0.08494	0.15862	0.22544	0.28691	0.34132	0.38267	0.39865	0.36696	0.25064	0
2	0	0.06191	0.11575	0.16491	0.21087	0.25304	0.28824	0.30908	0.29942	0.22242	0
1	0	0.03263	0.06107	0.08719	0.11195	0.13540	0.15665	0.17342	0.17988	0.15523	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

 

Таблица относительных погрешностей

y/x	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
10	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
9	0	0,00664	0,0066	0,00654	0,00647	0,00637	0,00623	0,00599	0,00554	0,00446	0
8	0	0,01092	0,01085	0,01075	0,01063	0,01048	0,01027	0,00994	0,00929	0,00764	0
7	0	0,01283	0,01273	0,01259	0,01244	0,01228	0,0121	0,0118	0,01117	0,00948	0
6	0	0,01294	0,01279	0,01261	0,01243	0,01229	0,01216	0,01198	0,01153	0,01013	0
5	0	0,01194	0,01172	0,01146	0,01125	0,01111	0,01106	0,01102	0,01082	0,00985	0
4	0	0,01034	0,01001	0,00964	0,00937	0,00924	0,00925	0,00936	0,00942	0,00893	0
3	0	0,00848	0,01026	0,00746	0,00713	0,00699	0,00706	0,00729	0,0076	0,00759	0
2	0	0,00645	0,00567	0,00506	0,00471	0,00458	0,00468	0,00498	0,00548	0,00594	0
1	0	0,00406	0,00308	0,00254	0,00227	0,00219	0,00226	0,00251	0,003	0,00382	0
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

 

Получили, что наибольшая относительная погрешность равна 1.294% и наблюдается в узле (1,6). В целом сравнение показывает, что приближенный метод конечных разностей для решаемой краевой задачи и для сетки (10х10) дает результаты, близкие к результатам, полученным точным методом Фурье.

Исследование решения задачи

Потребовалось построить линии уровня функции  для нескольких отношений управляемых параметров  по плотности расположения этих линий уровня сделать вывод об интенсивности изменения электростатического потенциала  по области  D.

Линией уровня функции  называется такая линия, в каждой точке которой функция  имеет одно и то же значение.

Зададим                                  

 

 

                                                                  

                                    
                                                                                            

 

 

                     

                         

 

 

  Зададим

В первых двух случаях изменение электростатического потенциала происходит наиболее интенсивно при , т.е. вдоль стороны, где задано граничное условие

Зададим

 

Зададим

 

При области , вытянутой вдоль оси  электростатический потенциал изменяется достаточно равномерно.

 

Зададим

                                                                    

Зададим                                                                                               

Зададим

При области  вытянутой вдоль оси  изменение электростатического потенциала происходит наиболее выражено у границы  (как и в первых двух случаях).