Расчет плоской статически определимой фермы

 

Литература: [1] §4.2, 4.6; [2] §55, 60; [4] §V.1, V.3; [5] §4.1; [11] §4.3; [12] §2.4.

Задача 3.1 Для ферм (рис. 3.1) с размерами и нагрузками, определенными по таблице 3.1, требуется:

а) определить аналитически усилия во всех стержнях указанной панели от постоянной нагрузки;

б) построить линии влияния усилий для тех же стержней;

в) определить по линиям влияния максимальные и минимальные усилия, возникающие в стержнях от действия временной нагрузки;

г) определить максимальные и минимальные значения расчетных усилий в этих стержнях.

Силы приложены во всех узлах грузового пояса, причем в крайних узлах силы вдвое меньше, чем в остальных.

Номера панелей слева.

      Таблица 3.1

 

№ строки	номер схемы		№ панели	d м	h м	P пост кН	P врем кН	Грузовой пояс
	Вариант А	Вариант В
1	1	11	2	3	3	10	8	верхний
2	2	12	3	4	3	15	10	верхний
3	3	13	4	3	4	20	15	верхний
4	4	14	5	4	4	30	10	верхний
5	5	15	6	3	2	25	15	верхний
6	6	16	7	2	3	20	10	нижний
7	7	17	2	3	2	30	8	нижний
8	8	18	3	4	4	25	10	нижний
9	9	19	4	2	3	30	15	нижний
0	10		5	5	4	10	12	нижний
	Е		д	г		д	б	д

 

Пример выполнения задачи 3.1. Дано: схема фермы (рис. 3.2, а) d =4м, h =3м, Р_пост=20кН, Р_врем=16кН, панель №3, грузовой пояс–верхний.

Решение. Определение усилия от постоянной нагрузки. Так как заданная ферма и нагрузка на нее симметричны, то реакции опор равны между собой, каждая из них равна половине равнодействующей всех сил

.

Для определения усилий в стержнях фермы используем метод сечений. Разрежем ферму сечением 1-1. Усилия в разрезанных стержнях можно определить, рассматривая равновесие сил, действующих на любую из частей фермы. Удобнее рассматривать ту часть, на которую действует меньшее количество сил. В данном случае это левая часть фермы. Предполагая, что все разрезанные стержни растянуты, направляем усилия в них от узлов (рис. 3.2, б).

Для определения усилия N ₂₃ составим уравнение суммы моментов сил относительно точки 9 (моментная точка), в которой пересекаются линии действия усилий в стержнях 1-2 и 3-5

откуда N ₂₃ = – 60к Н.

Моментной точкой для усилия N ₃₅ является точка 2, в которой пересекаются линии действия усилий N ₁₂ и N ₂₃. Усилие N ₃₅ разложим в точке 3 на составляющие. Вертикальная составляющая при этом не дает момента относительно точки2.

Составляем уравнение равновесия

,

откуда .

Из подобия треугольников А-1-6 и 3-2-6 определяем . Для определения cosα рассмотрим треугольник 3-9-К:

; α = 10⁰ 37^’; cosα = 0,983.

Вычисляем N ₃₅ =54,3 кН.

Для определения усилий в стержнях 2-4 и 2-5 разрежем ферму сечением II-II Рассмотрим равновесие сил, действующих на левую часть фермы (рис. 3.2, в). Моментной точкой для усилия N ₂₅ является точка 9. Если разложить N ₂₅ на вертикальную и горизонтальную составляющие в точке 2, то горизонтальная составляющая в уравнение моментов сил относительно точки 9 входить не будет. Уравнение будет иметь вид

.

Из подобия треугольников 3-2-9 и 5-4-9 определяем

.

Далее вычисляем:

;

, ; N₂₅=81,63 кН.

Для определения усилия N ₂₄ составляем уравнение (узел 5 является моментной точкой)

,

откуда N ₂₄ = -124,44 кН.

Определяем усилие N ₄₅. Для этого разрежем ферму сечением III-III и рассмотрим равновесие левой части (рис. 3.2, г). Проецируем силы на ось Y

, откуда N ₄₅ = -30 кН.

Построение линий влияния усилий.

Ферма загружена силой , перемещающейся по грузовому поясу (рис. 3.3). Определяем опорные реакции:

; ;

; .

 

Линия влияния N ₂₃. Используем сечение I-I. Пусть сила находится на правой части фермы (правее узла 2). Рассмотрим равновесие левой части

,

откуда получаем уравнение правой прямой

                        .

При x =0 N ₂₃ =-1,25, при x = l N ₂₃ =0. Проводим правую прямую лини влияния N ₂₃, которая справедлива на участке, расположенном правее узла 2. Рассмотрим теперь перемещение силы  по левой части фермы (левее узла I). Записываем уравнение равновесия сил, действующих на правую часть фермы

, откуда .

При x =0 N ₂₃ =0, при x = l N ₂₃ =-0,25. Проводим левую прямую линии влияния N ₂₃. Отметим, что правая и левая прямые пересекаются под моментной точкой. На участке 1-2 проводим передаточную прямую.

   Ординаты линии влияния под всеми узлами определяем из подобия треугольников.

Линия влияния N ₃₅. Используем сечение I-I. Сила справа от узла 2. Рассматриваем равновесие сил, действующих на левую часть фермы

 

,

 

откуда .

 

По полученному уравнению проводим правую прямую линии влияния N ₃₅. Сила слева от узла I. Уравнение левой прямой получим, рассматривая равновесие сил, действующих на правую часть фермы

 

,

 

откуда .

 

Проводим левую прямую, учитывая, что она должна пересекать правую прямую под моментной точкой 2. Передаточная прямая в данном случае является продолжением левой прямой.

Линия влияния N ₂₄. Воспользуемся сечением II-II. Пусть сила  перемещается справа от узла 4. Рассматриваем равновесие сил, действующих на левую часть фермы

 

,

 

 откуда .

 

Проводим правую прямую. Когда единичная сила перемещается слева от узла 2, рассматриваем равновесие правой части фермы:

 

; .

Проводим левую прямую, которая пересекает правую под моментной точкой 5.

Линия влияния N ₂₅. Сила справа от узла 4:

 

;         

– правая прямая.

 

слева от узла 2:

 

;        

 

 – левая прямая.

 

Прямые пересекаются под моментной точкой 9.

Линия влияния N ₄₅. Используем сечение III-III. Сила правее узла 4. Рассматриваем равновесие сил, действующих на левую часть фермы

 

, отсюда получаем уравнение правой прямой

 

.

 

Проводим правую прямую, которая действительна правее узла 4. Сила слева от узла 2. Записываем уравнение равновесия правых сил

 

,

 

откуда приходим к уравнению левой прямой

 

.

 

Проводим левую прямую. Точки левой и правой прямых, расположенные под узлами 2 и 4, соединим передаточной прямой.

 

Определение по линиям влияния максимальных и минимальных усилий, возникающих от действия временных нагрузок.

 Для определения максимального усилия от временной нагрузки надо загрузить все узлы, под которыми расположены положительные ординаты линии влияния; для определения минимальных усилий – узлы, под которыми расположены отрицательные ординаты:

                     ;

                 ;

                     ;

                      ;

                      ;

                  ;

                       ;

                       ;

                       ;

                   .

Определение максимальных и минимальных значений расчетных усилий.

Максимальной расчетное усилие равно сумме усилий от постоянной нагрузки и максимального усилия от временной нагрузки, минимальное расчетное усилие равно сумме усилий от постоянной нагрузки и минимального усилия от временной нагрузки.

Вычисления расчетных усилий сведены в таблицу 3.2.

 

Таблица 3.2

 

Стержень	кН	кН	кН	к Н	кН
2-3	-60	4	-50	-56	-110
3-5	54,3	54	-21,6	108,3	32,7
2-4	-124,44	28,4	-113,6	-96,04	-238,04
2-5	81,63	69,36	-7,2	150,99	74,43
4-5	-30	5,34	-29,36	-24,66	-59,36

 

 

Контрольная работа №4