Уравнения повышенной сложности

1. ( Сканави М.И.8.022)

2sin³ x +2sin²x cos x – sin x cos²x – cos³x = 0 |: cos³x ≠ 0;

т.к. уравнение однородное тригонометрическое 3-ей степени

2tg³x + 2tg²x – tgx – 1 = 0;

Разложим левую часть на множители, сгруппировав члены, получим

(tg x + 1)(2tg²x – 1) = 0;

tgx = -1 х= - + n, n ͼ Z

tgx= ; х= arctg + k, k ͼ Z.

Ответ: - + n, n ͼ Z; arctg + k, k ͼ Z.

2. (Сканави М.И.8.081)

6sin²x + sin x cos x – cos²x = 2;

4sin²x + sin x cos x – 3 cos²x = 0; |: cos²x ≠ 0;

т. к. уравнение однородное тригонометрическое 2-ой степени

4tg²x + tg x – 3 = 0;

tgx = -1, х= - + n, n ͼ Z

tgx= ; х= arctg + k, k ͼ Z.

Ответ: - + n, n ͼ Z;

arctg + k, k ͼ Z.

3. (Сканави М.И. 8.076)

sin x – sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0;

сгруппировав первое с третьим, второе с четвертым слагаемые левой части и применив формулы суммы и разности синусов, получим

2sin 3x cos 2x + 2sin 3x cos 5x = 0;

вынесем в левой части общий множитель за скобки и применим формулу суммы косинусов

2sin 3x ∙ 2 cos cos = 0;

sin 3x = 0, x = , n ͼ Z

cos = 0, x = + , k ͼ Z

cos = 0; x = + , m ͼ Z.

П роизведем отбор корней, воспользовавшись тригонометрической окружностью

Ответ: , n ͼ Z;

+ , k ͼ Z \ { 7m+3| m ͼ Z }.

 

4. (Сканави М.И. 8.076)

= 2;

воспользуемся формулой косинуса двойного угла

= 2;

s in = 1,

sin ≠ 0;

sin = 1;

х= + 4 , k ͼ Z.

Ответ: + 4 , k ͼ Z.

5. (Сканави М.И. 8.120)

+ - - =0

;понизим степень, воспользовавшись формулами косинуса двойного угла

1 +cos x +1 + cos 3x -1 +cos 4x -1 +cos 8x =0;

сгруппируем слагаемые и воспользуемся формулой суммы косинусов

2cos 2x cos x + 2cos 2x cos 6x =0;

2cos 2x 2cos 3,5x cos 2,5x=0;

произведение всюду определенных множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из этих множителей равен нулю

cos 2x=0 2x= + , n ͼ Z

cos 3,5x=0 3,5x= + , m ͼ Z

cos 2,5x=0; 2,5x= + , k ͼ Z;

x = + , n ͼ Z

x= + , m ͼ Z

x= + , k ͼ Z.

Ответ: + , n ͼ Z;

+ , m ͼ Z;

+ , k ͼ Z.

Заключение.

Изучение тригонометрических уравнений позволяет учащимся овладеть конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, развития умственных способностей, умение извлекать учебную информацию на основе сопоставительного анализа графиков, самостоятельно выполнять различные творческие работы.

В данной работе рассмотрены основные методы решения тригонометрических уравнений, причем, как специфические, характерные только для тригонометрических уравнений, так и общие функциональные методы решения уравнений, применительно к тригонометрическим уравнениям.

Для успешного решения уравнений необходимо знать формулы корней простейших тригонометрических уравнений, значение тригонометрических функций для основных углов и значение обратных тригонометрических функций, универсальные правила решения уравнений. Рассмотрено решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Указано, что при решении тригонометрических уравнений широко используются тождества, выражающие соотношение между тригонометрическими функциями одного и разных аргументов.

Приведенные методы не исчерпывают все многообразие способов решений тригонометрических уравнений. Однако рассмотренные типы уравнений встречаются наиболее часто и важно уметь распознавать в данном уравнении тот или иной тип.

Результаты данной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке творческих работ, при составлении факультативных курсов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к Единому государственному экзамену, вступительным экзаменам.

 

Возьми за основу книгу

 

 

См. стр 54-91

Отбор корней не затрагивай

 

задачи в практическую часть лучше взять с сайта

 

http://fipi.ru/about/news/proekty-kim-gia-2020-goda

 

http://ege.fipi.ru/os11/xmodules/qprint/index.php?proj_guid=AC437B34557F88EA4115D2F374B0A07B&theme_guid=2ef483029541e311b90c001fc68344c9&groupno=11&groupno=0