Основные аналитические методы

Исследования движения жидкости

Метод Лагранжа

Будем считать, что для каждой частицы нам известны зависимости

                                                                           (3.1)

Пользуясь этими зависимостями, можно построить траектории намеченных частиц жидкости. Далее можно в любом месте этих траекторий найти длину пути ds, проходимого частицей за время dt. Например,

                                                             (3.2)

В данном случае мы следим за отдельными частицами жидкости в течение времени t, за которое эти частицы, двигаясь по своим траекториям, проходят всю рассматриваемую область.

Согласно Лагранжу, о потоке жидкости в целом можно судить по совокупному рассмотрению траекторий, описываемых частицами жидкости.

Метод Эйлера

Представим некоторую область, занятую движущейся жидкостью. Согласно Эйлеру, не следят за движением отдельных частиц жидкости и не интересуются их траекториями.

В соответствии с предложениями Эйлера намечают точки, которые считают скрепленными с рассматриваемым неподвижным пространством. Эти точки неподвижны при протекании через них жидкости. Здесь величины x, y, z не есть текущие координаты частиц жидкости, а просто координаты неподвижных точек пространства.

Рассмотрим момент времени . В этот момент времени в точке 1 будет находиться некоторая частица жидкости, имеющая скорость ; в этот же момент времени в точке 2 будем иметь скорость ; в точке 3 – скорость  и т.д.

Согласно Эйлеру, поток в целом в данный момент времени оказывается представленным векторным полем скоростей, относящихся к неподвижным точкам пространства. В следующий момент времени получается другое поле скоростей. Сравнивая эти поля скоростей, можно судить о том, как поток ведет себя с течением времени.

Выше было отмечено, что координаты x, y, z, согласно Эйлеру, являются координатами неподвижных произвольных точек пространства. Поэтому в данном случае величины dx, dy, dz нельзя рассматривать как проекции элементарного пути, проходимого частицами жидкости за время dt. Эти величины здесь являются просто произвольными приращениями координат. В связи с этим зависимости (3.2) в случае метода Эйлера – неприемлемы.

Метод Лагранжа ввиду его сложности не нашел широкого применения в гидравлике. Далее в основном будет использоваться метод Эйлера, согласно которому следят за движением частиц в продолжение элементарного отрезка времени, когда данная частица жидкости проходит через рассматриваемую точку пространства.

Рассматривая индивидуальную производную как полную производную по времени от вектора скорости, представляющего сложную функцию от времени t как явно в случае нестационарного поля скоростей, так и через посредство координат x, y, z движущейся точки, найдем ускорение вектора скорости

                   ,                  (3.3)

или, учитывая, что производные по времени от координат движущейся точки равны проекциям ее скорости на оси координат

получаем следующее выражение вектора ускорения в эйлеровых переменных:

                                                     (3.4)

Проекции рассматриваемого вектора ускорения на оси неподвижных координат вычисляются следующим образом:

                              (3.5)

где ; ;  – индивидуальные или субстанциональные производные; ; ;   – локальные производные, выражающие из­­менение во времени вектора u в фик­си­рованной точке пространства;

– конвективная производная вектора u. Эта величина выражает изменение ско­рос­ти в пространстве в данный момент вре­мени. При установившемся движении локальные ускорения равны нулю.