Основы теории подобия, моделирования и анализа размерностей

Основные положения

Решение дифференциальных уравнений гидродинамики охва­тывает ограниченный круг задач. В ряде случаев аналитическое ре­ше­ние сопряжено со значительными математическими трудностями. В частности, не всегда можно получить удовлетворительный ре­зуль­тат и с помощью численных методов. В таких случаях на помощь приходят экспериментальные методы исследования.

Цель этих исследований состоит в том, чтобы получить данные, необходимые для расчета других процессов, родственных изучаемо­му.

Эксперименты проводятся на специально создаваемых лабораторных установках, моделирующих определенным образом исследуе­мые устройства и протекающие в них физические процессы.

Известны физический и математический методы моделирования.

При физическом моделировании исследуемая модель обычно вы­пол­няется в меньшем масштабе, чем оригинал (натура), и вос­про­изводит изучаемое явление с сохранением его физической природы.

Математическое моделирование осуществляется путем изучения явлений, имеющих иное, чем исследуемый процесс, физическое со­дер­жание, но описываемых аналогичными математическими урав­нениями.

 

Законы механического подобия

Полученные на модели результаты опытных исследований об­общаются и затем переносятся на натуру. Выполнение этой про­цедуры требует знаний законов, связывающих между собой вели­чины, полученные при исследованиях на модели, и соответствующие им величины в натуре.

Эти законы называются законами подобия. Они устанавливают определенные соотношения между геометрическими размерами, ки­не­матическими и динамическими характеристиками потоков в мо­дели и натуре.

Законы подобия подробно изучаются в специальных курсах теории подобия и моделирования.

Следует отметить, что теория подобия имеет большое теорети­чес­кое и практическое значение не только для моделирования раз­лич­ных явлений и процессов, но и прежде всего для научного обос­нования экспериментальных исследований, обработки их ре­зуль­та­тов и построения на их основе рациональных эмпирических формул.

Динамическое или вообще физическое подобие является обобщением геометрического подобия.

Рассмотрим способы получения масштабных коэффициентов для геометрического, кинематического и динамического подобия.

 

Геометрическое подобие

Пусть имеем натурный объект (поток) (рис. 10.1), подлежащий гидродинамическому исследованию, и его модель.

 

Рис. 10.1

Обозначим геометрические размеры объекта (натурного потока) индексом 1, а модельного – индексом 2.

Чтобы получить область течения в модели, геометрически по­доб­ную натурному потоку, разделим все линейные размеры натурного потока на некоторое число k, которое называется линейным масш­табом. Таким образом получаем связь между геометрическими раз­ме­рами а ₁ и а ₂, b ₁ и b ₂, в виде равенств:

                          .                                           (10.1)

Линейные размеры, связанные соотношением (10.1), называют соответственными, или сходственными. Точки, координаты которых удовлетворяют этому соотношению, называют сходственными.

Безразмерные координаты сходственных точек одинаковы.

Обычно за единицу измерения всех линейных величин в со­от­ветст­вующих потоках принимают L ₁ (натура), L ₂ (модель) и нахо­дят линейный масштаб :

                                 .                                                  (10.2)

Для площадей и объемов соответственно имеем:

                                                                           (10.3)

Очевидно, что для геометрических подобных потоков необходи­ма пропорциональность соответствующих площадей и объемов.

 

Кинематическое подобие

Кинематическое подобие обязательно включает в себя геомет­ри­ческое подобие, т.е. для кинематического подобия необходимо, что­бы траектории частиц обоих потоков были подобны геометрически.

Кроме того, для кинематически подобных потоков отрезки тра­екторий соответствующих частиц натурного и модельного потоков, а также отрезки времени, в течение которых протекают соответ­ст­вую­щие процессы в натуре и в модели, должны быть пропорциональны.

Другими словами, если в первом потоке (натуре) частицы про­ходят путь L ₁ за время t ₁, то во втором потоке (модели) – путь L ₂ за t ₂.

Причем, отрезки L ₁ и L ₂ должны быть геометрически подобны, а отношение  должно быть одинаковым для сходственных точек обо­их потоков.

Отношение  называется масштабом времени и обозначается k_t. Например, для скоростей частиц жидкости в сходственных точках потока получаем следующие выражения:

Тогда

.

Очевидно, что

.

Аналогично находим масштаб ускорений:

.

Таким образом, скорости и ускорения в сходственных точках по­тока связаны соотношениями

                           .                                     (10.4)

 

Динамическое подобие

Динамическое подобие обязательно включает в себя геомет­ри­чес­кое и кинематическое подобия. В любых потоках, если физическая природа действующих на жид­кость сил одинакова и силы образуют геометрически подобные силовые многоугольники, они являются динамически подобными.

В динамически подобных потоках отношение одноименных сил в сходственных точках в натуре и на модели постоянны, т.е.

                          ,                                            (10.5)

где Р – любая сила, в том числе и равнодействующая;  – масштабный коэффициент сил или масштаб сил.

К силам, действующим в потоке жидкости, можно отнести силы: внутреннего трения жидкости, тяжести, поверхностного натяжения и др.

Для динамически подобных потоков отношение плотностей жид­кости в натуре и на модели должно быть постоянным:

                             .                                         (10.6)

Обозначим действующие в сходственных точках натурного и мо­дельного потоков силы Р ₁ и Р ₂ соответственно. По закону Ньютона сила рав­на произведению массы на ускорение:

,

где m – масса жидкости;  – ускорение.

Учитывая, что масса равна произведению плотности на ее объем , где , тогда .

Ускорение определяется приращением скорости  в единицу времени t, т.е. .

Следовательно,

            .                               (10.7)

Таким образом, для динамического подобия необходимо, чтобы силы находились в соотношении

                   .                                  (10.8)

Выражение (10.8) является математическим выражением общего закона динамического подобия, впервые сформулированным Ньютоном.

Преобразуем выражение (10.8) к виду

                          .                              (10.9)

Следовательно,  – критерий Ньютона, являющийся обобщенным критерием динамического подобия меха­ни­ческих систем.

В гидродинамических исследованиях во многих случаях ока­зывается невозможным найти количественные оценки действующих внешних сил, а, следовательно, и их равнодействующей. Поэтому при изучении гидравлических явлений часто выделяют только одну силу, а действием остальных пренебрегают. В этом случае применяют частные критерии Рейнольдса, Фруда, Вебера и др.