Применение Уравнения Бернулли

Расчёт простого трубопровода

 

Уравнение Бернулли для реальной жидкости

 

          

 

Н- располагаемый напор, если  - движение возможно

 

, где - гидравлическое сопротивление прямых участков

 

 - гидравлическое сопротивление фасонных частей

 - справочная величина

 

 - скорость движения жидкости

Для длинных трубопроводов

 

, тогда

 

Расход

1. Задан расход  определить d или задан d – определить расход

 

 - гидравлический уклон – потери напора на 1 м трубопровода

 

 

 

         Трубопровод с непрерывным путевым и транзитным расходом

 

Для простого трубопровода известно, что

w=    и        υ =

Если на единице длины трубопровода должно отводиться υ[ ], то путевой расход υ_п=υ .

Иногда требуется, чтобы из последнего сечения уходил дополнительный поток υ_т – транзитный.

Следовательно, суммарный расход равен (υ_п+ υ_т).

 Суммарный поток по длине  меняется, тогда на участке dx имеем

 

dh_n=λ()   

и

Так как на всем отрезке пути было х отводов с расходом υ[ ], то общий расход 

w= , т.е.

 

dh_n= dx

 

 h_n = =

 

h_n =

В частном случае, когда υ_т=0 и h_n=

 

Когда υ_п=0 → h_n=

 

Истечение жидкости через отверстия

I. истечение при h =const

= +h_п

 

 (Z₁-Z₂)=Н; =  

Н= - +h_п  

             

          Истечение из бокового отверстия

 

 

[ +h]=

f₀w₂=Fw₁; w₁=  w₂

Н= w²+h_n; где h_n=

2gH=[1-()²] w²+ w² или 2gH=(1+ ) w²

w= → w=

υ= ₀w→ υ = ₀ ; =μ_p → υ = μ_{p 0}

 

Истечение через водослив

 

= =

= b (H -H )

= bh

Опыт показывает, что толщина струи под порогом соответствует максимальному расходу.

Следовательно, =0

= b ( - )=0,

но b 0.

Тогда = ; (H-h)= ; H= h или h= H

Тогда

= b = b или

= b H

Опорожнение (истечение при переменном уровне)

За время :

-d =F_cdr(м³)

d = f₀ (м³)

-F_cdr= f₀ , откуда

= =-      

 

       ; ;

      

Истечение из донных отверстий при постоянном напоре

 - скорость перемещения слоёв в сосуде

 - скорость истечения

; ;

               

      

   

       

относ. к самому узкому сечению струи  - коэф. сжатия струи

 - к-т расхода

 

 

Характеристика реальных жидкостей.

Ньютоновские жидкости.

Сила трения между слоями жидкости может быть выражена уравнением:       =μF_{тр , откуда}

τ_тр= =μ ,

где τ_тр – напряжение сдвига (касательное);  - градиент сдвига.

τ_тр                                                             ; 

 

τ_тр=μ_к( )^а      а=1 для ньютоновской жидкости.                                                    

 

Неньютоновские жидкости.                             Бингамовские жидкости

τ_тр=μ_к( )^а                                                   τ_тр= τ₀+μ_п( )

          

                                                                               Бингамовские жидкости- осадки

1 – псевдопластичные a<1,разбавленные суспензии      

2 – дилатантные a>1, концентрированные суспензии

 

Режимы движения реальных жидкостей

 

Ламинарный параллельно-струйчатый режим

 

 

 

Турбулентный (вихревой) режим

 

Законы ламинарного режима.

 

1. Распределение касательного напряжения трения τ_тр

Р_тр= μ_к( )^аF_тр, откуда

τ_тр= =μ_к( )^а

Баланс сил Δр - τ_трF_тр=0; Δр =τ_тр , откуда

 

τ_тр=

 

при r =0→τ_тр=0

при r =R→ τ_тр= = τ_max= τ_s

 

2. Распределение скорости по сечению круглой трубы.

 

τ_тр=

 μ_к( )^а = ;

( )^а =

 = [ → +[

 

w= [ ()

 

Для ньютоновских жидкостей а=1 и :

w=  () параболическое распределение w=f(r)

При этом   [ ;

для ньютоновских жидкостей (а=1, )

                   w_мах=

3.Расход и средняя скорость

 

 

Изменение расхода dυ=wdf,    где   df=2πrdr-площадь колечка

 

w= [ ()

 

dυ=  [ ()2πrdr

[ ()r dr

rdr = R²= =

rdr = dr =

()dr = ( ) = =

 

 

υ = [ = [

 

Для ньютоновских жидкостей (а=1, )

υ=  - уравнение Пуазейля-Гагена

Средняя скорость для ньютоновских жидкостей:

 

w_ср= = = , тогда

=

 

Средняя скорость для неньютоновских жидкостей:

w_ср= [

 

Коэффициент гидравлического сопротивления:

 

Для средней скорости ньютоновской жидкости имеем

 

w_ср = = =    

 Re= → ;

w=

=

=

h_n= = ,

 

 λ=

 

 

Для неньтоновской жидкости:

λ= , где

Re_(н.ж.)=

 

 

                                 

h_n= =λ ; = , т.е.E_u= , E_u=

 

Бимгамовские жидкости

Рассмотрим движение ламинарного потока и стержнеподобное ядро потока

Для ламинарного потока: r>r₀  и τ_тр> τ₀

Р_тр=F_тр τ_тр= , откуда

= ;

=  - τ₀;

= (  - τ₀);

= [  - τ₀ ]  при r₀ r R

w= [ (R²-r²) - τ₀(R-r)]

Видно, что при τ₀=0 → имеем распределение w=f(r) для ньтоновской жидкости.

w= [ (R²-r²)

 

Скорость стержня (при r = r₀):

w_ст= [ (R²-r₀²) - τ₀(R-r₀)]

 

Расход бингамовской жидкости

υ= υ_ст+ υ_{кольц.сеч.}

 

υ=πr₀² w_ст+ =πr₀² w_ст+2π [ (R²-r²) - τ₀(R-r)]rdr=

= πr₀² w_ст+ (R²-r²)rdr - (R-r)rdr

R²rdr - r³dr = R² rdr - r³dr = R²( ) - ( )

Rrdr - r²dr= R( ) - ( )

После интегрирования и подстановки значений w_ст, τ₀=  r₀, r₀=  и имеем:

υ= [1- ], откуда

 

 w_ср= = [1- ()⁴]

Коэффициент гидравлического сопротивления

+ = + , т.е. λ=f(Re= ), где C= .