Признаки сходимости и расходимости рядов с неотрицательными членами.

Ряд с неотрицательными членами сходится тогда и только тогда, когда последовательность частичных сумм ограничена сверху.

18) Признак сравнения рядов с положительными членами. Пусть даны два ряда с неотрицательными членами a_n и b_n. Если существует натуральное число N такое, что неравенство a_n ≤ b_n выполнено для всех n ≥ N, то из сходимости ряда b_n следует сходимость ряда a_n, а из расходимости ряда a_n -расходимость ряда b_n.

19) Признак Коши.

а) Если существует натуральное число N такое, что для числовой последовательности { }, построенной из членов ряда a_n, a_n ≥ 0, для всех n ≥ N выполняется неравенство ≤ q < 1 (q — фиксированное число, не зависящее от n), то ряд сходится; если для всех n ≥ N выполняется неравенство ≥ 1, то ряд расходится.

б) Если у последовательности { }, построенной из членов ряда a_n, a_n ≥ 0, существует = p, то ряд a_n сходится при p < 1 и расходится при p > 1.

При p = 1 предельный признак Коши не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится.

19) Интегральный признак (Коши, Маклорен).

Пусть данный ряд имеет вид a_n = f (n), причем f (n) есть значение в точке x = n некоторой функции f (x), определенной при x ≥ n ₀. Если f (x) монотонно убывает и в области определения справедливо неравенство f (x) ≥ 0, то ряд a_n сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл f (x) dx.

20) Радикальный признак Коши — признак сходимости числового ряда:

Если для числового ряда с неотрицательными членами существует такое число d, 0 < d < 1, что, начиная с некоторого номера, выполняется неравенство , то данный ряд сходится. 21) Признак Даламбера. а) Если существует натуральное число N такое, что для последовательности чисел qn = , построенной из членов ряда an, an > 0, для всех n ≥ N выполняется неравенство ≤ q < 1 (q — фиксированное число, не зависящее от n), то ряд сходится; если для всех n ≥ N выполняется неравенство ≥ 1, то ряд an расходится. б) Если последовательность , построенная из членов ряда an, an > 0, имеет некоторый предел n, = p, то при p < 1 ряд an сходится, а при p > 1 расходится (предельный признак Даламбера). При p = 1 предельный признак Даламбера не дает ответа на вопрос, сходится данный ряд или расходится. 22) Ряд называется знакочередующимся, если его члены попеременно принимают значения противоположных знаков, т. е.: Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы: Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия: (монотонное невозрастание {an} по абсолютной величине) 1. . Тогда этот ряд сходится.

23) Т е йлора ряд, степенной ряд вида

, (1)

где f (x) — функция, имеющая при х = а производные всех порядков. Во многих практически важных случаях этот ряд сходится к f (x) на некотором интервале с центром в точке а:

(2)

(эта формула опубликована в 1715 Б. Тейлором). Разность R_n (x) = f (x) — S_n (x), где S_n (x) — сумма первых n + 1 членов ряда (1), называется остаточным членом Т. р. Формула (2) справедлива, если .

24) Макл о рена ряд, исторически неправильное название (по имени К. Маклорена) степенного ряда вида:

,

где f (0), f’ (0), f” (0) ,..., f ⁽ⁿ⁾(0) ,... – значения заданной функции f (x) и её последовательных производных при х = 0.Этот ряд был получен ранее Маклорена английским математиком Б. Тейлором (опубликовал 1715), что было известно и самому Маклорену. М. р. есть частный случай Тейлора ряда.