Поиск корней функции методом касательных.

Этот алгоритм начинает работать с некоторой точки x0, находящейся в окрестности корня. Функция y=f(x) должна быть монотонной. В точке (x0,y0=f(x0)) проводится касательная до пересечения с осью x. Полученная точка берется в качестве следующего значения для x0. Процесс повторяется до тех пор, пока разница значений x0 между двумя итерациями не станет достаточно малой.

Практическое задание №3.

При выполнении третьего задания студенты должны закрепить приемы работы с операторами цикла. Основное внимание уделяется стилю написания программы и разделению программы на отдельные функции, каждая из которых выполняет законченное действие.

Вариант 1.

Суммируя числовой ряд, вычислите функцию, зависящую от параметра:

,               где

Суммирование завершайте по достижению условия . Для вычисления  воспользуйтесь рекуррентными соотношениями. Процедуру вычислений оформите в виде отдельной функции. Разработайте интерфейс, позволяющий пользователю вводить параметры  и  и вычислять таблицу значений  при x =0..10 с шагом 0.5. Исследуйте поведение  при  и . Сумму сравните с точным значением .

Вариант 2.

Суммируя числовой ряд, вычислите функцию, зависящую от параметра:

,               где

Суммирование завершайте по достижению условия . Для вычисления  воспользуйтесь рекуррентными соотношениями. Процедуру вычислений оформите в виде отдельной функции. Разработайте интерфейс, позволяющий пользователю вводить параметры  и  и вычислять таблицу значений  при x =0..10 с шагом 0.5. Исследуйте поведение  при  и . Сумму сравните с точным значением .

Вариант 3.

Суммируя числовой ряд, вычислите функцию, зависящую от параметра:

,               где

Суммирование завершайте по достижению условия . Для вычисления  воспользуйтесь рекуррентными соотношениями. Процедуру вычислений оформите в виде отдельной функции. Разработайте интерфейс, позволяющий пользователю вводить параметры  и  и вычислять таблицу значений  при x =0..10 с шагом 0.5. Исследуйте поведение  при  и . Сумму сравните с точным значением .

Вариант 4.

Суммируя числовой ряд, вычислите функцию:

, где

Суммирование завершайте по достижению условия . Для вычисления  воспользуйтесь рекуррентными соотношениями. Процедуру вычислений оформите в виде отдельной функции. Вычислите таблицу значений  при  с шагом 0.1, а также в некоторой точке  — области сходимости суммы . Разработайте интерфейс, позволяющий пользователю вводить параметры  и . Полученные значения сравните с точным значением . Повторите вычисления с .

Вариант 5.

Суммируя числовой ряд, вычислите функцию:

, где

Суммирование завершайте по достижению условия . Для вычисления  воспользуйтесь рекуррентными соотношениями. Процедуру вычислений оформите в виде отдельной функции. Вычислите таблицу значений  при  с шагом 0.1, а также в некоторой точке  — области сходимости суммы . Разработайте интерфейс, позволяющий пользователю вводить параметры  и . Исследуйте поведение  при  и . Полученные значения сравните с точным значением . Повторите вычисления с .

 

Вариант 6.

Продифференцируйте численно функцию , используя для дифференцирования разностную формулу второго порядка

Процедуру дифференцирования вынесите в отдельную функцию. Разработайте интерфейс, позволяющий вводить шаг дифференцирования h и вычислять таблицу  для  с шагом  при . Сравните полученные результаты с точным значением производной .

Вариант 7.

Разработайте процедуру поиска методом половинного деления корня уравнения  на интервале . Процедуру оформите в виде отдельной функции. Разработайте интерфейс, позволяющий вводить значение границ интервала a, b и требуемую точность решения . С помощью программы определите корни уравнения  на интервалах  и .

Контрольный пример:

x = -1, 2 (кратность 2), 5, -3.

 

Вариант 8.

Разработайте процедуру поиска корня уравнения  методом Ньютона:

Процедуру оформите в виде отдельной функции. Полагайте, что производная  задана аналитически. Разработайте интерфейс, позволяющий вводить начальное приближение  и требуемую точность вычислений . С помощью программы определите корни уравнения  при  и начальных условиях . Поясните результат при помощи графика функции .

Контрольные примеры:

;   

; 

;