Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

(1)

Поле направлений — геометрическая интерпретация множества линейных элементов, соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Любая интегральная кривая системы обыкновенных дифференциальных уравнений в каждой своей точке касается отвечающего этой точке направления поля, и любая кривая, обладающая этим свойством, является интегральной кривой системы.

Задача Коши. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка , в которой они задаются, – начальной точкой. Если дифференциальное уравнение n-го порядка, то для определения частного решения необходимо n начальных условий.

Пусть N- количество точек, i=1, 2, … N, тогда шаг

Если даны начальные условия: , то по разложению в ряд Тейлора:  . Из уравнения (1) имеем

Метод интегрирования Эйлера первого порядка (n=1, O(h))

Метод интегрирования левых прямоугольников.

Начальные условия:

 

Для уменьшения погрешности необходимо уменьшить шаг, но с уменьшением шага растёт число округлений.

 

Усовершенствованный метод Эйлера (n=2)

Метод интегрирования трапеций

Для вычисления нового значения y необходимо посчитать два значения f, причём  неизвестно   метод неявный. От неявности уходят следующим образом:

Чем выше порядок точности, тем меньше погрешность.

 

 

Модифицированный метод Эйлера (n=2)

Метод центральных прямоугольников

 

 

 

Метод Рунге-Кутта (n=4)

Метод парабол

                                                                                           

 

 

 

Линейные многошаговые методы интегрирования. Методы Адамса-Бэшфорта.

Явные методы, поскольку для вычисления нового y, следует посчитать f(k), более ранние значения известны.

 

1 порядок:

2 порядок:

3 порядок:

4 порядок:

 

Погрешность вычислений:

Адамса-Бэшфорта

Рунге-Кутта

Следовательно, для достижения одинаковой точности в методе Адамса-Бэшфорта необходимо использовать более мелкий шаг, а потому он является менее экономичным.

Классификация методов интегрирования

1. По порядку точности. Порядок точности - наибольшая степень полинома, для которой численный метод даёт точное решение задачи.

2. Явные или неявные. Метод называется явным потому, что неизвестное значение может быть непосредственно вычислено по известному значению в предыдущей точке.

3. Одношаговые или многошаговые. В одношаговых методах для получения точки требуется лишь информация о последней рассчитанной точке. В m - шаговых методах для получения точки требуется информация о предыдущих m рассчитанных точках.

4. Самостартующие или несамостартающие. Самостартующий метод- метод, в котором для начала вычислений не требуется дополнительных расчётов.

Погрешности

 - точное значение интеграла

 значение интеграла, рассчитываемое с шагом h

- - главный член погрешности;

- - второстепенный член погрешности.

 

Например,

-даёт очень скруглённую величину, так как вместо каждой производной берётся одна максимальная;

- может быть вычислена до решения.

 

 

Предположим, что шаг уменьшен до  тогда

Следовательно, уменьшение сетки приводит к уменьшению погрешности.

Cлева в формуле - априорная погрешность (теоретическая), справа- апостериорная (практическая). Эта формула даёт более точный результат.

 

Для h1=h/2: - формулы Рунге или формулы второго пересчёта.

- экстраполяция Ричардсона.

Метод стрельбы (пристрелки)

Перевод краевой задачи к последовательности решений задач Коши.

Пусть дано:

Зададим

Приравняем . Нужно подобрать значение производной на правой границе так, чтобы совпало численное решение и заданное условие .

Конечно-разностный метод

Пусть дано

Выразим производные через разностное отношение и подставим в исходное уравнение, получим:

, где, в общем случае, a, b, с- f(h). Тогда получаем систему линейных уравнений:

; (1)

- ленточная матрица

 

Скалярная прогонка

Состоит из двух этапов:

• - прямой прогонки - использует левое граничное условие и находит прогоночные коэффициенты K и L
• обратной прогонки

8N действий.

 

Необходимое условие устойчивости скалярной прогонки.

Должно выполняться правило диагонального преобладания:

- модуль главной диагонали больше суммы модулей побочных диагоналей.

 

(1)

 

Прямая прогонка (Левое граничное условие)

 

Обратная прогонка (Правое граничное условие)

Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений

(1)

Поле направлений — геометрическая интерпретация множества линейных элементов, соответствующих системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Любая интегральная кривая системы обыкновенных дифференциальных уравнений в каждой своей точке касается отвечающего этой точке направления поля, и любая кривая, обладающая этим свойством, является интегральной кривой системы.

Задача Коши. Если дополнительные условия задаются в одной точке, то такая задача называется задачей Коши. Дополнительные условия в задаче Коши называются начальными условиями, а точка , в которой они задаются, – начальной точкой. Если дифференциальное уравнение n-го порядка, то для определения частного решения необходимо n начальных условий.

Пусть N- количество точек, i=1, 2, … N, тогда шаг

Если даны начальные условия: , то по разложению в ряд Тейлора:  . Из уравнения (1) имеем

Метод интегрирования Эйлера первого порядка (n=1, O(h))

Метод интегрирования левых прямоугольников.

Начальные условия:

 

Для уменьшения погрешности необходимо уменьшить шаг, но с уменьшением шага растёт число округлений.

 

Усовершенствованный метод Эйлера (n=2)

Метод интегрирования трапеций

Для вычисления нового значения y необходимо посчитать два значения f, причём  неизвестно   метод неявный. От неявности уходят следующим образом:

Чем выше порядок точности, тем меньше погрешность.

 

 

Модифицированный метод Эйлера (n=2)

Метод центральных прямоугольников

 

 

 

Метод Рунге-Кутта (n=4)

Метод парабол