П.3. Условие обратимости матриц.

Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)-поле скаляров.

Свойства обратимости

Матрица с нулевой строкой (столбцом) не обратима.

Доказательство. Пусть     У матрицы А i -ая строка нулевая. Рассмотрим АВ. У АВ в i -ой строке нули (аналогично у матрицы ВА). Поэтому для любых В: АВ≠Е, так как у матрицы Е нет нулевых строк, то есть матрица А не обратима.

 

Если строки матрицы линейно зависимы, то она не обратима.

Доказательство. Пусть строки линейно зависимы, тогда существует цепочка элементарных преобразований , переводящая в матрицу А в ступенчатую матрицу В с нулевой строкой: . В - необратима по свойству 1. Докажем, что А - необратима. Предположим противное: А - обратима. Тогда В обратима как произведение обратимых матриц. А это у нас противоречие.

3) Если матрица А обратима, то её стоки линейно-независимы.

Доказательство. Следует из свойства 2.

Матрицу с линейно-независимыми строками (столбцами) можно представить как произведение элементарных матриц.

Доказательство. Так как строки матрицы А - линейно-независимы, то существует цепочка элементарных преобразований , переводящая матрицу А в матрицу Е.

Тогда

Обратная к элементарной матрице - есть элементарная матрица.

Следовательно А - произведение элементарных матриц.

Теорема 1. Для любой матрицы следующие условия равносильны:

1)

2) Строки (столбцы) матрицы А линейно независимы.

3) Матрица А обратима.

4) Матрица А представима в виде произведения элементарных матриц.

Доказательство. Происходит по схеме и следует из свойств обратимости.     

П.4. Вычисление обратной матрицы.

Применяют два основных метода вычисления обратной матрицы.

Первый метод основан на применении элементарных преобразований строк.

Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)- поле скаляров.

Теорема 1. Если существует цепочка элементарных преобразований вида 1 и 2, которая переводит матрицу А в единичную матрицу, то матрица А обратима, и та же цепочка элементарных преобразований переводит матрицу Е в матрицу .

Доказательство. а)Пусть существует цепочка элементарных преобразований  вида 1 и 2, которые переводят А в Е, тогда по 4 свойству:

Е =

По свойству 2 - обратимая матрица, тогда - обратимая матрица.

б) Имеем докажем, что та же цепочка элементарных преобразований переводит А в Е , то есть матрица  получена из Е цепочкой элементарных преобразований .                                                                                         ■

Правило вычисления обратной матрицы.

Пусть

1) Рассмотрим матрицу , то есть матрицу А, у которой справа дописана матрица Е.

2) Если с помощью элементарных преобразований векторов строк, матрица преобразуется в матрицу то С - обратима, и .

Пример. . Найти .

Второй способ вычисления обратной матрицы – с помощью присоединённой матрицы.

Теорема 2. Для любой матрицы А следующие условия эквивалентны:

1)

2) Строки (столбцы) матрицы А линейно независимы.

3) Матрица А обратима.

4) Матрица А представима в виде произведения элементарных матриц.