Использование свойств логарифма

 

Пример 3. Решить уравнения

 

a) log3 x + log3(x + 3) = log3(x + 24),

b) log4(x 2 - 4 x + 1) - log4(x 2 - 6 x + 5) = -1/2

c) log2 x + log3 x = 1

 

Решение. a) ОДЗ уравнения есть множество x  (0;+) которое определяется из системы неравенств (условия существования логарифмов уравнения)

 

	x > 0,
	x +3 > 0,
	x +24 > 0.

 

Используя свойство P2 и утверждение 1, получим

 

log3 x + log3(x + 3) = log3(x + 24) 		log3 x (x + 3) = log3(x + 24), x > 0,			
 x (x + 3) = x + 24, x > 0,	 x 2 + 2 x - 24 = 0, x > 0,		 x 1 = -6, x 2 = 4,   x > 0,	 x = 4.

 

 

b) Используя свойство P3, получим следствие исходного уравнения

 

 

откуда, используя определение логарифма, получим

 

 

или

x ² - 4 x + 1 = ¹/₂(x ² - 6 x + 5),

 

откуда получаем уравнение

x ² - 2 x - 3 = 0

 

с решениями x ₁ = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.

c) ОДЗ уравнения: x  (0;+). Используя свойство P5, получим уравнение

 

log₂ x (1 + log₃2) = 1,

 

откуда или  или log₂ x = log₆3. Следовательно,

Логарифмические неравенства

 

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log _a f (x) > log _a g (x) равносильно системе неравенств

 

	f (x) > g (x),
	g (x) > 0.

 

Утверждение 2. Если 0 < a < 1, то неравенство log _a f (x) > log _a g (x) равносильно системе неравенств

 

	f (x) < g (x),
	f (x) > 0.

 

Утверждение 3. Неравенство log _{h (x)} f (x) > log _{h (x)} g (x) равносильно совокупности систем неравенств

 

		h (x) > 1,
		f (x) > g (x) > 0,
		0 < h (x) < 1,
		0 < f (x) < g (x).

 

 

Подчеркнем, что в неравенстве log _a f (x) > log _a g (x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥, <, ≤. В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.

Пример 1. Решить неравенства

 

a) log3(x 2 - x) ≥ log3(x + 8);
b)
c)

 

Решение. a) Используя утверждение 1, получим

 

log3(x 2 - x) ≥ log3(x + 8)	x 2 - x ≥ x + 8,		x 2 - 2 x - 8 ≥ 0,
	x +8 > 0,		x > -8,

 

		x ≤ -2,
		x ≥ 4,	x  (-8;-2] [4;+∞).
		x > -8,

 

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

 

 

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

 

 

Запишем и, используя утверждение 2, получим

 

Показательные уравнения и неравенства

Показательные уравнения

Показательным называется уравнение, в котором неизвестное содержится только в показателе степени при постоянных основаниях.

Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

Это уравнение равносильно алгебраическому уравнению

Пример 1. Решить уравнение

.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 2:

.

Перейдем теперь к равносильному алгебраическому уравнению:

 

Если после введения новой переменной  показательное уравнение сводится к алгебраическому, дробно-рациональному или другому уравнению от переменной y, то сначала находят корни этого уравнения, а потом выражают x через y, используя решение простейшего показательного уравнения.

Показательные неравенства

 

Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

A.1. Если a > 1, неравенство

a ^{f (x)} > a ^{g (x)}

 

равносильно неравенству

f (x) > g (x).

Аналогично, a ^{f (x)} < a ^{g (x)}; f (x) < g (x).

 

A.2. Если 0 < a < 1, неравенство

a ^{f (x)} > a ^{g (x)}

 

равносильно неравенству

f (x) < g (x).

Аналогично, a ^{f (x)} < a ^{g (x)}; f (x) > g (x).

 

A.3. Неравенство

 

[ h (x)] f (x) > [ h (x)] g (x)

(1)

 

равносильно совокупности систем неравенств

 

		h (x) > 1,
		f (x) > g (x),
		0 < h (x) < 1,
		f (x) < g (x).

 

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

 

	h (x) = 1,
	x  D (f); D (g),

 

где D (f) (D (g)) означает область определения функции f (g).

A.4. Если b ≥ 0, неравенство

a^{f (x)} < b

 

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства a^{f (x)} > b является x D (f).

A.6. Если a > 1, b > 0, неравенство

a^{f (x)} > b

 

равносильно неравенству

f (x) > log _ab.

Аналогично, a ^{f (x)} < b; f (x) < log _ab.

 

A.7. Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство

a ^{f (x)} > b

 

равносильно неравенству

f (x) < log _ab.

Аналогично, a ^{f (x)} < b; f (x) > log _ab.

 

Упражнение 1. Решить неравенства:

 

a)
b) (0.3)|2 x -3| < (0.3)|3 x +4|,
c)

 

Решение. a) Так как 2 > 1, используя утверждение A.1, получаем равносильное неравенство

 

 

которое решается методом интервалов,

 

 

b) Так как 0 < 0.3 < 1 используя утверждение A.2, получаем равносильное неравенство

 

|2 x -3| > |3 x +4|,

 

которое решается, используя свойства модуля (| a | > | b |  (a - b)(a + b) > 0):

 

|2 x -3| > |3 x +4|  ((2 x -3)-(3 x +4)) ((2 x -3)+(3 x +4)) > 0 (- x -7)(5 x +1) > 0

 

Решив последнее неравенство методом интервалов, получим x (-7;-¹/₅).

c) Используя утверждение A.3, получим

 

4 x 2+2 x +1 > 1, x 2- x > 0, 4 x 2+2 x +1 < 1, 4 x 2+2 x +1 > 0, x 2- x < 0

x > 0, x < -12, x > 1, x < 0, x (-12;0), x R, x (0;1).

 

 

 

x  (- ; -12) (1;+ ), x

x (- ;- 12) (1;+ ).

Заключение

 

Математика, как и любая другая наука не стоит на месте, вместе с развитием общества меняются и взгляды людей, возникают новые мысли и идеи. И XX век не стал в этом смысле исключением. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная), поэтому знание хотя бы самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях.

 

Список литературы

1. Курош А.Г. «Курс высшей алгебры» Москва 1975

2. Штейн Е.А. «Большая школьная энциклопедия» том 1; Москва 2004

3. М. Д. Аксенова. «Энциклопедия для детей». Том 11. Математика. – Аванта+, 1998.

4. Цыпкин А. Г. Под ред. С. А. Степанова. «Справочник по математике для средней школы». – М.: Наука, 1980

5. Г. Корн и Т. Корн. «Справочник по математике для научных работников и инженеров». – М.: Наука, 1970