Анализ частотных, импульсной и переходных характеристик фильтра

 

Программа вычисления частотных характеристик в системе MathLab выглядит следующим образом:

 

 

Полученные амплитудная и частотная характеристики изображены на рисунках 2 и 3 соответственно.

 

Рис.2. АЧХ полученного фильтра.

Рис.3. ФЧХ полученного фильтра.

Импульсная характеристика фильтра есть отклик фильтра на единичный импульс, т.е. значения импульсной характеристики будут повторять коэффициенты фильтра.

Программа вычисления импульсной характеристики в системе MathLab выглядит следующим образом:

 

 

Рис.4. Импульсная характеристика полученного фильтра.

Полученная импульсная характеристика изображена на рисунке 4:

Переходная характеристика фильтра есть отклик фильтра на единичный скачок. Программа вычисления переходной характеристики в системе MathLab выглядит следующим образом:

 

 

Полученная переходная характеристика изображена на рисунке 5.

 

Рис.5. Переходная характеристика полученного фильтра.

 

Анализ ошибок квантования в цифровом фильтре и методов их минимизации

 

В реальных устройствах цифровой обработки сигналов необходимо учитывать эффекты, обусловленные квантованием входных сигналов и конечной разрядностью всех регистров. Источниками ошибок в процессах обработки сигналов являются округление (усечение) результатов арифметических операций, шум аналого-цифрового квантования входных аналоговых сигналов, неточность реализации характеристик цифровых фильтров из-за округления их коэффициентов (параметров). В дальнейшем с целью упрощения анализа предполагается, что все источники ошибок независимы и не коррелируют с входным сигналом.

Эффекты квантования приводят в конечном итоге к погрешностям в выходных сигналах цифровых фильтров, а в некоторых случаях и к неустойчивым режимам ЦФ. Выходную ошибку ЦФ будем рассчитывать как суперпозицию ошибок, обусловленных каждым независимым источником.

Квантование чисел является нелинейной операцией; m-разряд-ное двоичное число А представляется b -разрядным двоичным числом B = F (A), причем b <т. В результате квантования число А представляется с ошибкой

e = B - A = F (A)- A (2.1)

 

Шаг квантования Q определяется весом младшего числового разряда   При квантовании используется усечение или округление.

Усечение числа А состоит в отбрасывании   младших разрядов числа, при этом ошибка усечения

 

   (2.2)

 

Оценим величину ошибки в предположении . Для положительных чисел при любом способе кодирования . Для отрицательных чисел при использовании прямого и обратного кодов ошибка усечения неотрицательна: , а в дополнительном коде эта ошибка неположительна: . Таким образом, во всех случаях абсолютное значение ошибки усечения не превосходит шага квантования:

 

 (2.3)

Округление m-разрядного числа А до b разрядов ( ): b -й разряд остается неизменным или увеличивается на единицу в зависимости от того, больше или меньше  отбрасываемая дробь 0, , где a_i - i -й разряд числа А, . Округление можно практически выполнить путем прибавления единицы к (b +1)-му разряду и усечения полученного числа до b разрядов. В таком случае ошибка округления  при всех способах кодирования лежит в пределах

 

 (2.4)

 

и, следовательно,

 

 (2.5)

 

Рис.6. Плотности вероятностей для ошибок квантования при округлении(слева) и усечении (справа).

 

В задачах ЦОС ошибки квантования чисел рассматриваются как стационарный шумоподобный процесс с равномерным распределением вероятности по диапазону распределения ошибок квантования. На рисунке 6приведены плотности вероятности ошибки квантования при округлении и усечении.

Квантование дискретных сигналов (в АЦП и цифровых сигналов на выходах умножителей и сумматоров) состоит в представлении отсчета (выборки сигнала) числами х(пТ), содержащими b числовых разрядов. Квантование сигналов, как и квантование чисел, является нелинейной операцией. Однако при анализе процессов в ЦФ используется линейная модель квантования сигналов (рисунок 7), где f (nT) - дискретный или m-разрядный цифровой сигнал (m > b), x (nT) - квантованный b - разрядный цифровой сигнал, ошибка квантования е (п Т) = х (п Т) - f (n T).

Верхнее значение ошибки квантования   определяется по-прежнему соотношением (2.4) или (2.5).

Вероятностные оценки ошибок квантования основаны на предположениях о том, что последовательность е(пТ) является стационарным случайным процессом с равномерным распределением вероятности по диапазону ошибок квантования и е(пТ) не коррелирован с f (nT). Математическое ожидание (среднее значение)  и дисперсия   ошибки квантования е определяются по формулам:

 

 

где р_е - плотность вероятности ошибки. По этим формулам легко вычислить математическое ожидание и дисперсию для ошибок округления и усечения:

 

 (2.6)

 (2.7)

Рис.7. Линейная модель квантования сигналов.

 

Т.о. возможность снижения ошибок квантования заключается в уменьшении значения шага квантования . Или, что эквивалентно, увеличении разрядов квантования.