Показатель дюрации и его применение для оценки рисков

Риск, связанный с изменением процентной ставки. Для потока платежей { }, фактором риска, влияющим на его текущую стоимость P, является процентная ставка (ставка дисконтирования). Колебание уровня ссудного процента r могут привести к неблагоприятным изменениям этой стоимости, что сопряжено с риском потери капитала и, в том числе, невыполнения обязательств. В качестве меры, оценивающей этот риск, широко применяется обобщенная характеристика последовательности платежей, которая называется дюрацией, и определяемая по формуле:

 

 (2,13)

Где P=

 

Формально правая часть равенства (2,13), взятая со знаком минус, является эластичностью приведенной стоимости потока по отношению к (1+r). Например, если поток платежей представлен выплатами по купону и номиналом к погашению, то данный показатель будет характеризовать процентное изменение цены облигации по сравнению с процентными изменением (1+r). При необходимости значение (2,13) можно пересчитать в числовую характеристику чувствительности на процентную ставку.

Риск платежеспособности. Если ввести обозначение

 

,

 

То формула дюрации приводится к виду:

 

 

что позволяет толковать данный показатель как средний срок платежа. Исходя из этого, в качестве меры расхождения сроков поступлений по активам (A) и выплат по пассивам (П), оценивающий риск платежеспособности, в финансовой практике используется показатель разницы средних сроков:

 

 

Вероятностные риски

Уклонения при вероятностях. Статистические меры риска (2.1) - (2.7) определяются по всему диапазону изменения случайного параметра  и, фактически, является скалярной сверсткой двух характеристик риска: уклонения от ожидаемого значения и его вероятности. Зачастую в приложениях маловероятными значениями  можно пренебречь и использовать для оценки риска либо вероятность изменения параметра  в заданной области, либо выявление области, в которой этот параметр будет изменяться с заданной вероятностью.

Соответствующие характеристики риска можно получить по результатам обработки эмпирических данных исходя из гистограммы относительных частот или используя аппроксимацию нормальным распределением с заданными моментами

 

 и :

,

 

где  - функция Лапласа.

Используя формулу  и Эмпирическую шкалу допустимого уровня риска», по таблицам функции Лапласа  находим соответствующие значения параметра ) (табл. 2.2).

 

Таблица 2.2

	0	0,1	0,3	0,4	0,5	0,6	0,6826	0,8	0,9544
00,1260,3860,5240,6740,84211,2812

Величина при риске (Value at risk - VAR). Оценки риска отклонения от среднего в обе стороны характеризуют нестабильности. В общем случае нестабильность может порождаться как нежелательными, так и выигрышными расхождениями от среднего. Для учета только неблагоприятных отклонений можно использовать квантильные характеристики распределения вероятностей и найти такое , что для заданного уровня значимости p, например 95%:

 

.

Величина  позволяет с заданной доверительной вероятностью p предсказать уровень максимально возможных потерь на временном периоде, для которого оценивается риск. Полученная при этом оценка называется величиной при риске (VAR) и определяет потери при наихудшем стечении обстоятельств. Для достаточно высокого уровня значимости p потери, превосходящие числовое значение VAR, соответствуют пренебрежимо редким событиям и, принимая инвестиционные решения, их можно не учитывать.

Прикладные VAR модели различаются в зависимости от выбранной числовой характеристики потерь и вида ее вероятностного распределения, длительности целевого периода, назначаемого уровня доверительной вероятности и методами расчета: по относительным частотам, с использованием моментных характеристик или с помощью имитационного моделирования.

Риск разорения. Этот риск порождается такими большими «минусовыми» отклонениями (), которые не оставляют возможности рискующему их компенсировать. Вероятность осуществления подобного события определяют меру риска разорения.

Пусть W - начальный капитал инвестора, который получает случайных доход . За меру риска его деятельности можно принять вероятность его разорения. Тогда стремление инвестора к минимизации этого риска побуждает его к поиску таких решений, которые дают максимум вероятности неразорения: .

Риск актива - это вероятность его пропажи либо возврата не в полном объеме. В частном случае кредита, говорят о кредитном риске

Риск обстоятельств определяется вероятностью их непогашения или погашения не в полном объеме.

Депозитный риск. Так называется вероятность досрочного отзыва депозитов.

Меры риска

Дисперсия. При действии стохастических причин любое конкретное значение финансового результата  является реализацией определенной случайной величины . При этом ожидаемый результат оценивается математическим ожиданием , а его риск - дисперсией

 

:

.

 

Чем больше дисперсия (вариация), тем в среднем больше отклонение, то есть выше и риск.

Среднеквадратическая характеристика риска. Зачастую за степень рискованности принимают также величину среднеквадратического отклонения (СКО)

 

 

называемую риском анализируемого показателя : доходы, эффективности вложения и т.д. в зависимости от конкретного содержания.

Оценка риска акции во времени. Для оценивания риска в зависимости от длительности временного периода опираются на математическое описание ценовой динамики акций, принятое в модели Блэка-Шоулса. В ее обозначениях риск акции  измеряется стандартным отклонением доходности, представленной как непрерывно начисляемый процент в расчете на год (в виде десятичной дроби), а  - ожидаемое значение годовой ставки. Согласно свойствам этой модели математическое ожидание доходности и ее риск достигнут за время Т (в долях года) значений:

 

Опираясь на эти формулы, можно переходить от оценок дисперсии, а значит, и оценок риска для одного периода к оценкам в расчете на другой период.

Вместе с тем соотношения (2.3) весьма приближенны, что подтверждается реальными данными, и простота предлагаемого способа противоречит точности получаемых с его помощью характеристик.

Коэффициент вариации. Для результата, задаваемого объемными показателями (доход, валовой выпуск, издержки и т.д.), в качестве информативной меры риска используется такая относительная характеристика рассеяния, как коэффициент вариации:

 

 

Если же показатель  дает относительную характеристику результата, например доходность, то для измерения риска достаточно ограничиться абсолютной мерой рассеяния .

Среднее абсолютное отклонение. Этот показатель основан на оценивании линейных уклонений случайных значений результата  от его математического ожидания:

 

.

 

Связь между линейным  и квадратичным  отклонениями устанавливается с помощью известного неравенства Чебышева. Согласно которого, вероятность  того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания не меньше, чем заданный допуск , не превосходит ее дисперсии, деленной на :

 

.

Полудисперсия. Эта мера риска учитывает рассеяние только в сторону неблагоприятных значений. Для максимизируемого показателя отклонения в меньшую сторону от его среднего значения сопряжены с риском потерь, а движения в противоположном направлении дают выигрыши и определяют уже не риски, а шансы. Полудисперсия эти положительные сдвиги не учитывает, они приравниваются нулевым значениям, а вычисляется только по отрицательным значениям, а вычисляется только по отрицательным отклонениям . Для дискретной случайной величины  с вероятностью  этот измеритель риска определяется суммой взвешенных по вероятностям значений квадратов неблагоприятных отклонений от среднего :

 

 

Аналог этого показателя для непрерывной случайной величины рассчитывается интегрированием на области е отрицательных уклонений с плотностью вероятностей  в роли весовой функции:

 

.

Дисперсионные характеристики риска. Эти показатели основаны на известной формуле разложения дисперсии, согласно которой

 

.

 

Рассмотрим физический смысл составляющих дисперсии в формуле Дисперсия условного математического ожидания  характеризует ту часть флуктуаций переменного результата , которая вызвана влиянием фактора риска . Средняя условная дисперсия  характеризует ту часть общей дисперсии переменной , которая вызвана совокупностью всех остальных факторов, кроме влияния переменной .

Из выше изложенного следует, что измеряемый дисперсией риск разлагается на две части: риск, обусловленный влиянием учитываемого фактора , и риск по всем неучитываемым факторам. Характер преобладания между учитываемыми и неучитываемыми факторами по их влиянию, а риск результата устанавливается в зависимости от сопоставления величины вклада каждого из слагаемых в сумме

Для множественного случая формула (2.7) может быть представлена следующим образом:

 

,

 

где слагаемые имеют схожую интерпретацию, но применительно не к одному, а к  выделенным факторам риска .

Размах (разность между наибольшим и наименьшим значениями). Если все сведения о возможных значениях сводятся лишь к заданию диапазона  без указания каких-либо вероятностных характеристик, говорят о риске неопределенности.

Допустим, что результат  зависит от  факторов  с известными границами изменения каждого фактора. При таком задании информации вопрос о проведении финансовой операции можно моделировать известными схемами игры с природой, а в качестве измерителя рисков опираться на максимумы потерь по отношению к наилучшим в различных состояниях природы решениям.