Прямые и плоскости в пространстве

Прямые и плоскости в пространстве

(Стереометрия)

Основные понятия стереометрии:

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Краткая запись: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиома 1. (Аксиома или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома 3.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты

Теорема 1.

Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2.

Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

То́чка — одно из фундаментальных понятий математики, абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик. В евклидовой геометрии точка — это неопределяемое понятие, на котором строится геометрия, то есть точка не может быть определена в терминах ранее определённых объектов.

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны.

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Пло́скость — это поверхность или фигура, образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей собой прямую (начертательная геометрия).

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Из предыдущего определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости (см. рис.).

 

 

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающим прямым.

 

Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми также не будет зависеть от выбора точки М. Поэтому в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающих прямых (см. рис.).

 

Угол между двумя скрещивающимися прямыми а и в вычисляется по формуле

, где

 и  - направляющие векторы а и в соответственно.

Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми а и в имеет вид

.

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус:

.

Угол между пересекающимися прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве может быть равен девяноста градусам. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, а прямые называют перпендикулярными.

Прямые и плоскости в пространстве

(Стереометрия)

Основные понятия стереометрии:

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Краткая запись: А ∈ β, B ∈ β,

Аксиома 1. (Аксиома или постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без требования доказательства и используемое при доказательстве других её положений, которые, в свою очередь, называются теоремами.)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома 3.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты

Теорема 1.

Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2.

Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

То́чка — одно из фундаментальных понятий математики, абстрактный объект в пространстве, не имеющий никаких измеримых характеристик. В евклидовой геометрии точка — это неопределяемое понятие, на котором строится геометрия, то есть точка не может быть определена в терминах ранее определённых объектов.

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны.

Пло́скость — одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии понятие плоскости обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенным образом определяется аксиомами геометрии.

Пло́скость — это поверхность или фигура, образованная кинематическим движением образующей по направляющей, представляющей собой прямую (начертательная геометрия).

Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Из предыдущего определения следует, что скрещивающиеся прямые не пересекаются, не параллельны, и, тем более, не совпадают, иначе они обе лежали бы в некоторой плоскости (см. рис.).

 

 

Угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны заданным скрещивающим прямым.

 

Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми также не будет зависеть от выбора точки М. Поэтому в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающих прямых (см. рис.).

 

Угол между двумя скрещивающимися прямыми а и в вычисляется по формуле

, где

 и  - направляющие векторы а и в соответственно.

Формула для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми а и в имеет вид

.

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти синус угла между скрещивающимися прямыми, если известен косинус:

.

Угол между пересекающимися прямыми на плоскости и в трехмерном пространстве может быть равен девяноста градусам. В этом случае говорят, что прямые пересекаются под прямым углом, а прямые называют перпендикулярными.