Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке

Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве функции  и  непрерывны в точке . Тогда функции , ,  и  также непрерывны в точке  (частное при условии ).

Доказательство. Поскольку  и  непрерывны в точке , то  и . Используя теорему о пределах функций, получим:

,

,

.

Следовательно, согласно определению 1, функции , ,  и  непрерывны в точке  (частное при условии ).

Сложная функция и ее непрерывность

Последовательное применение двух или нескольких функций называется суперпозицией этих функций.

Функции, образованные в результате суперпозиции двух или нескольких функций будем называть сложными функциями. Например, сложная функция  образована в результате суперпозиции функций  и . Достаточно определить сложную функцию, образованную в результате суперпозиции двух функций. Определение. Пусть функция  определена на некотором множестве  и пусть  - множество значений этой функции. Если на указанном множестве  определена другая функция , то говорят, что на множестве  задана сложная функция переменной

.

Теорема. Если функция  непрерывна в точке , а функция  непрерывна в точке , соответствующей точке , то сложная функция  непрерывна в точке .

Доказательство. В силу непрерывности функции  в точке  имеем: , то есть при  имеем . Поэтому вследствии непрерывности функции в точке  получаем , то есть . Следовательно, предел функции  в точке  равен ее значению в этой точке , что и доказывает непрерывность сложной функции  в точке .

Обратная функция и ее непрерывность.

Определение. Функция  называется неубывающей (невозрастающей) на множестве , если для любых  и  из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство  (). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Определение. Функция  называется возрастающей (убывающей) на множестве , если для любых  и  из этого множества, удовлетворяющих условию , справедливо неравенство  (). Убывающие и возрастающие функции называются строго монотонными.

Определение. Пусть функция  задана на отрезке , и пусть множеством значений этой функции является отрезок . Пусть каждому значению  из отрезка  ставится в соответствие по некоторому закону единственное значение  из отрезка , для которого . Тогда на отрезке  можно определить функцию , ставя в соответствие каждому  из отрезка , то значение  из отрезка , для которого . Функция  называется обратной для функции .

В этом определении вместо отрезков  и  можно рассматривать интервалы  и  или считать, что один или оба интервала превращаются в бесконечную прямую  или в открытую полупрямую , .

Заметим, что если  - обратная функция для функции , то функция  - обратная функция для функции . Функции  и  называются взаимно обратными.

Взаимно обратные функции обладают следующими очевидными свойствами:

,

.

Пример. Рассмотрим на полупрямой  функцию . Областью значений этой функции является полупрямая . каждому  поставим в соответствие по формуле  единственное значение . Тогда . Следовательно,  является обратной для функции .

Пример. Рассмотрим на отрезке  функцию . Областью значений этой функции является отрезок . Обозначим через  угол, принадлежащий отрезку , синус которого равен . Тогда функция  будет обратной к данной. Действительно, .

Заметим, что при записи обратной функции независимую переменную нередко обозначают , а значение функции , то есть пишут . Например,  - функция обратная для функции . Функция  - функция обратная для функции .

Теорема. Пусть на отрезке  задана возрастающая (убывающая) непрерывная функция , и пусть  и . Тогда эта функция имеет на отрезке  () возрастающую (убывающую) непрерывную обратную функцию .