Лекция 2. Растяжение и сжатие

Лекция 2. Растяжение и сжатие

Растяжением (сжатием) называется такое напряженно-деформированное состояние, которое создается внешними силами, действующими по оси стержня, при этом в поперечных сечениях возникает только один ВСФ – продольная сила N_Z (F_Z).

Продольная сила, соответствующая растяжению считается положительной, сжатию – отрицательной. Определим продольные силы для стержня. Применим метод сечений.

Проведя сечение а-а, отбросим левую часть. Воздействие левой части заменим продольной силой и найдем ее величину из уравнения равновесия ΣF_Z=0.

– N_Z +2 F =0 → N_Z = 2 F (растяжение)

Аналогично находим N_Z в сечении b - b.

– N_Z –5 F +2 F =0 → N_Z = –3 F (сжатие).

Строим эпюру.

На эпюре сил в местах приложения сосредоточенных сил имеются скачки равные этим силам.

 Следует отметить, что в сечении заделки N_Z = F_R – т.е. продольная сила равна реакции заделки.

Определение напряжений

При растяжении (сжатии) в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения, а продольная сила N_Z есть их равнодействующая уравнение (1).

Если на стержень нанести прямоугольную сетку, то можно убедиться, что после приложения растягивающей силы и деформации стержня, линии сетки, останутся взаимно- перпендикулярны. Следовательно, поперечные сечения плоские и нормальные к оси стержня останутся плоскими и нормальными к его оси - Гипотеза плоских сечений. Из этого следует, что все волокна элемента длиной l ₀ удлиняться на одну и туже величину Δ l и их относительные удлинения ε одинаковы уравнение (2).

Закон Гука. Для многих материалов, при нагружении до определенных пределов, линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям уравнения (3).

где Е – модуль продольной упругости или модуль упругости первого рода – одна из физических констант материала. Размерность как и у σ – Па (Н/м²), МПа (Н/мм²). Значения Е для различных материалов даны в справочниках.

Определение деформаций

При растяжении сжатии происходит и изменение поперечных размеров стержня. Относительная поперечная деформация уравнение (5).

Между деформациями продольной ε и поперечной ε^' существует установленная экспериментально зависимость (6).

где μ – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) величина безразмерная. Его величина для различных материалов лежит в пределах (7).

Между абсолютной Δ l и относительной ε  деформациями существует очевидное соотношение (8)

Для стержня постоянного сечения при постоянной продольной силе получим (8´)

Величина ЕА называется жесткостью сечения при растяжении (сжатии).

 

 

 

Выводы.

а) Сумма нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам постоянна и равна главному напряжению уравнение (26).

б) Закон парности касательных напряжений – На двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны, но противоположны по знаку уравнение (27). Данное свойство является общим для любого напряженного состояния.

в) Величина нормального напряжения в любом наклонном сечении (α≠0) меньше σ₁ и достигает максимума в поперечных сечениях σ_α=0= σ₁. Касательное напряжение имеет наибольшее значение при α=45⁰ уравнение (28).

τ_α=45= τ_max= σ₁/2

г) При осевом растяжении (сжатии) стержень разрушается либо по поперечному сечению в результате действия максимальных нормальных напряжений, либо по наклонной (под углом 45⁰) плоскости от действия наибольшего касательного напряжения.

Лекция 2. Растяжение и сжатие

Растяжением (сжатием) называется такое напряженно-деформированное состояние, которое создается внешними силами, действующими по оси стержня, при этом в поперечных сечениях возникает только один ВСФ – продольная сила N_Z (F_Z).

Продольная сила, соответствующая растяжению считается положительной, сжатию – отрицательной. Определим продольные силы для стержня. Применим метод сечений.

Проведя сечение а-а, отбросим левую часть. Воздействие левой части заменим продольной силой и найдем ее величину из уравнения равновесия ΣF_Z=0.

– N_Z +2 F =0 → N_Z = 2 F (растяжение)

Аналогично находим N_Z в сечении b - b.

– N_Z –5 F +2 F =0 → N_Z = –3 F (сжатие).

Строим эпюру.

На эпюре сил в местах приложения сосредоточенных сил имеются скачки равные этим силам.

 Следует отметить, что в сечении заделки N_Z = F_R – т.е. продольная сила равна реакции заделки.

Определение напряжений

При растяжении (сжатии) в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения, а продольная сила N_Z есть их равнодействующая уравнение (1).

Если на стержень нанести прямоугольную сетку, то можно убедиться, что после приложения растягивающей силы и деформации стержня, линии сетки, останутся взаимно- перпендикулярны. Следовательно, поперечные сечения плоские и нормальные к оси стержня останутся плоскими и нормальными к его оси - Гипотеза плоских сечений. Из этого следует, что все волокна элемента длиной l ₀ удлиняться на одну и туже величину Δ l и их относительные удлинения ε одинаковы уравнение (2).

Закон Гука. Для многих материалов, при нагружении до определенных пределов, линейные деформации прямо пропорциональны нормальным напряжениям уравнения (3).

где Е – модуль продольной упругости или модуль упругости первого рода – одна из физических констант материала. Размерность как и у σ – Па (Н/м²), МПа (Н/мм²). Значения Е для различных материалов даны в справочниках.

Определение деформаций

При растяжении сжатии происходит и изменение поперечных размеров стержня. Относительная поперечная деформация уравнение (5).

Между деформациями продольной ε и поперечной ε^' существует установленная экспериментально зависимость (6).

где μ – коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона) величина безразмерная. Его величина для различных материалов лежит в пределах (7).

Между абсолютной Δ l и относительной ε  деформациями существует очевидное соотношение (8)

Для стержня постоянного сечения при постоянной продольной силе получим (8´)

Величина ЕА называется жесткостью сечения при растяжении (сжатии).