Определение конечных разностей

 

Конечная разность «вперед» для таблично заданной функции в i -той точке определяется выражением: , где функция  задана, как функция целочисленного аргумента с единичным шагом по аргументу i.

Для аналитически заданной и протабулированной с постоянным шагом h функции  определяющее соотношение имеет вид:

 

.

 

Преобразование таблицы функции  в функцию целочисленного аргумента  осуществляют при помощи линейного соотношения между аргументами x и i: .

Коэффициенты a и b находят из системы уравнений, получаемой в результате подстановки в пределах заданной таблицы вместо x и i сначала начальных значений аргументов , а затем конечных . При этом начало таблицы удобно совместить с началом координат функции с целочисленным аргументом (). Тогда для таблицы с (n+ 1) – й строками:

 

,

 

 

Повторные конечные разности n -го порядка в i -той точке для табличной функции  определяются соотношением

.

 

Конечно-разностные операторы

 

Линейность конечно-разностного оператора  позволяет ввести конечно-разностный оператор сдвига  и многочлены от оператора  с целыми коэффициентами, такие, как , где  должно рассматриваться как оператор повторной разности k -того порядка.

Действие любого многочлена  на функцию g (i) определяется как

 

.

 

Применение оператора сдвига к g (i) преобразует последнее в g (i +1):

 

g (i +1) = E g (i) = (1+ ) g (i) = g (i) + g (i).

 

Повторное применение оператора сдвига позволяет выразить (i+n) – е значение ординаты функции g через конечные разности различных порядков:

 

 

где  – число сочетаний из n элементов по k;

 – многочлен степени k от целой переменной n (), имеющий k сомножителей. При k=n .

В силу линейности оператора сдвига можно конечно-разностный оператор выразить, как , и определить повторные конечные разности через многочлены от операторов сдвига так .

Последнее позволяет формульно выражать n -ную повторную разность через (n +1) ординату табличной функции, начиная с i -той строки:

 

 

Если в выражении для g (i+n) положить i =0 и вместо  подставить их факториальные представления, то после несложных преобразований получится разложение функции целочисленного аргумента по многочленам , которые в литературе называют факториальными:

 

.

 

Можно поставить задачу разложения и функции действительной переменной f (x) по многочленам  относительно начала координат (аналогично ряду Маклорена), т.е. . Если последовательно находить конечные разности от левой и правой частей, то, зная, что  и , после подстановки x =0 будем получать выражения для коэффициентов разложения . У многочленов k -той степени, , поэтому

 

.

Такое разложение табличной функции f (x) в литературе называют интерполяционным многочленом Ньютона для равных интервалов.