Определённый интеграл и его свойства

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА

Задача о площади криволинейной трапеции

    Рассмотрим промежуток  и заданную на нем непрерывную неотрицательную функцию . Фигура, ограниченная прямыми  и кривой  называется криволинейной трапецией (рис. 1).

Будем решать задачу о вычислении площади криволинейной трапеции.

Для этого разобьем отрезок  на части точками :

.

Проведем прямые . Тогда наша криволинейная трапеция будет представлять собой сумму  узких «криволинейных полосок» (каждая k -я полоска ограничена линиями ). Обозначим площадь криволинейной трапеции через , а площадь каждой k -ой полоски через . Получим

Площадь каждой полоски приближенно равна площади прямоугольника с основанием  и высотой , где   – произвольно выбранная точка из промежутка   (рис. 2). Это приближенное равенство тем ближе к точному равенству, чем уже ширина полоски .

Таким образом

                                    (1)

Введем понятие ранга дробления. Среди всех значений  выберем наибольшее, обозначим его через  и назовем рангом дробления, так что

.

Можно показать, что в силу непрерывности функции  при  приближенное равенство (1) переходит в точное равенство

                             (2)

Более того, величина  в этом случае не зависит от выбора точек , , .

К необходимости изучать пределы вида (2) приводят многие задачи геометрии, механики, физики. Пределы вида (2) обобщены с помощью понятия определенного интеграла.

 

Свойства определенного интеграла, выражаемые неравенствами

Теорема 4. Пусть , функции и  интегрируемы на промежутке  и при всех   справедливо неравенство

.                                    (11)

Тогда

                            (12)

    Доказательство. Рассмотрим разность интересующих нас интегралов как интеграл разности данных функций. В силу (9)

Последний интеграл запишем по формуле (4), т.е. следуя определению определённого интеграла. Тогда получим

Здесь все парные произведения интегральной суммы неотрицательны. Действительно, по условию (11)  при всех , а  при всех , поскольку .

Значит и сама интегральная сумма неотрицательна. Тогда по теореме о предельном переходе в неравенстве неотрицателен и ее предел. Таким образом, получаем:

Теорема доказана.

Следствие. Пусть , функция  интегрируема на промежутке  и при всех   справедливо неравенство . Тогда .

Теорема 5. Если функция  интегрируема на промежутке , то функция  также интегрируема на промежутке  и при   справедливо неравенство

                            (13)

    Доказательство. Проведем его только для непрерывных функций. Заметим, что

                          (14)

для всех . К цепочке неравенств (14) применим теорему 4. Получим

,

Что равносильно неравенству (13).

 

 

Теорема о среднем значении

Теорема 6. Пусть функции и  непрерывны на промежутке  и пусть функция  не меняет знака на этом промежутке. Тогда найдется такая точка , что справедливо равенство

                            (15)

Доказательство. Без ограничения общности будем считать, что , а  при . Рассмотрим два случая.

1). Пусть  при всех . Тогда равенство (15) выполнено очевидным образом.

2). Пусть  не является тождественно равной нулю. Тогда в силу непрерывности функции  можем утверждать, что

Поскольку функция  непрерывна на замкнутом промежутке , то она достигает на этом промежутке своего наибольшего значения и своего наименьшего значения , т.е. при всех  справедливы неравенства

.                                      (16)

Домножим неравенства (16) на положительные значения функции  и получим справедливые при всех  неравенства

                      (17)

К цепочке неравенств (17) применим теорему 4 и получим справедливые неравенства

              (18)

Разделим все части цепочки неравенств (18) на положительное число . Получим

Поскольку непрерывная функция  принимает на промежутке  все значения между своим наибольшим  и наименьшим , существует такая точка , что

Отсюда следует, что

Таким образом, теорема 6 доказана.

Следствие. Если функция  непрерывна на промежутке , то можно указать такое значение , что

                            (19)

    Доказательство. Будем считать  при . Тогда согласно теореме 6 найдется такая точка , что

В случае, когда   при всех , формула (19) имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную линиями . Согласно равенству(19) площадь этой криволинейной трапеции равна площади прямоугольника с основанием  и высотой  (рис. 4).

 

Теорема Барроу

Рассмотрим определенный интеграл с переменным верхним пределом

                              (20)

Здесь  – число,  – переменная. Таким образом,  является функцией верхнего предела .

В силу геометрического смысла определённого интеграла, если , , то величина  является площадью криволинейной трапеции, ограниченной справа прямой . Т.к.  – переменная, то и интеграл (20) изображает трапецию с переменной площадью (рис. 5).

Справедливо следующее важное утверждение.

Теорема Барроу. Если функция  непрерывна, то

т.е. производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в точке дифференцирования.

    Доказательство. По определению производной

,

где

.         (21)

Во втором слагаемом правой части (21) поменяем пределы интегрирования по формуле (6) и на основании теоремы 3 получим:

Величина  является площадью заштрихованной криволинейной трапеции (рис. 5). Поскольку функция  непрерывна, по теореме 6 о среднем значении найдется такая точка , для которой справедливо

Тогда

Теорема доказана.

 

Приведем примеры применения теоремы Барроу.

 Пример 6.1.

Следствие. Любая непрерывная на промежутке  функция имеет на этом промежутке первообразную.

Действительно, если  – непрерывна, то существует  . Но по теореме Барроу , т.е.  – первообразная для . Таким образом,  – первообразная для .

    Замечание. Первообразная непрерывной функции не всегда может быть выражена в терминах элементарных функций.

 

Замечания.

1. При решении задач обычно пользуются компактной формой (28), а не развернутой формой (27).

2. Типы функций, которые следует интегрировать по частям, такие же, как и в случае вычисления неопределенного интеграла.

3. Форма записи решения такая же, как и в случае неопределенного интеграла.

Приведем примеры.

Пример 8.1. Вычислить .

Положим . Получим . Тогда

.

Пример 8.2. Вычислить .

Положим . Получим . Тогда

Несобственные интегралы

Расширим понятие определенного интеграла.

 

1.10.1. Несобственный интеграл по бесконечному промежутку

Пусть функция  определена при всех  и интегрируема на каждом конечном промежутке . Рассмотрим предел

                                  (31)

Его называют интегралом функции  в пределах от  до  или несобственным интегралом II рода и обозначают символом

.                                       (32)

Таким образом,

Если предел (31) существует и конечен, то говорят, что интеграл (32) существует или сходится. Функцию  при этом называют интегрируемой на промежутке . Если же рассматриваемый предел (31) не существует или бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл (32) не существует или расходится.

Пример 10.1.

.

Пример 10.2.

.

Пример 10.3.

.

Таким образом, несобственный интеграл  расходится.

Пусть теперь функция  определена на промежутке  и интегрируема на любом конечном промежутке . Несобственным интегралом II рода или интегралом функции  в пределах от  до  называется

.                             (33)

Этот интеграл обозначается следующим образом

.                                       (34)

Таким образом,

Если предел (33) существует и конечен, то говорят, что интеграл (34) существует или сходится. Функцию  при этом называют интегрируемой на промежутке . В противном случае говорят, что несобственный интеграл (34) не существует или расходится.

Пусть функция  определена на всей числовой оси и интегрируема на каждом промежутке .

Тогда будем говорить, что функция  интегрируема на всей числовой оси и

,                     (35)

где  – любое число, если оба интеграла в правой части (35) сходятся.

 

1.10.2. Несобственный интеграл от неограниченной функции

 

Рассмотрим теперь конечный промежуток , на котором функция  не ограничена.

Пусть функция  задана, ограничена и интегрируема на любом отрезке , но в точке  функция  является бесконечно большой, т.е. .

Рассмотрим предел

.                                   (36)

Этот предел называется несобственным интегралом функции  от  до , или несобственным интегралом I рода, и обозначается как обычно:

.                                        (37)

Если предел (36) существует и конечен, то говорят, что интеграл (37) существует, или сходится, а функция  интегрируема на промежутке . Если предел (36) бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл (37) не существует, или расходится.

Пример 10.5.

.

Пример 10.6.

.

Пусть теперь функция  задана, ограничена и интегрируема на любом отрезке , но в точке  функция  является бесконечно большой, т.е. . Тогда несобственный интеграл функции  в пределах от  до  определяется равенством

                       (38)

Если предел, стоящий в правой части (38) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл существует или сходится, а функция  интегрируема на промежутке . Если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Пример 10.7.

Таким образом, рассматриваемый интеграл расходится.

Теперь рассмотрим случай, когда функция  определена, ограничена и интегрируема в промежутках  и , и является бесконечно большой в точке , т.е. . Тогда несобственный интеграл функции  в пределах от  до  определяется равенством

               (39)

Если оба предела в правой части (39) существуют и конечны при стремлении к нулю  и  произвольно и независимо друг от друга, то несобственный интеграл сходится. В противном случае он расходится. Сравнивая (36), (38) и (39), видим, что справедливо равенство

.                      (40)

Несобственный интеграл в левой части (40) сходится, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и исходный интеграл слева.

 

Пример 10.11. Вычислить несобственный интеграл

или доказать его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция стремится к  при стремлении переменной  к нулю справа. Согласно определению

.

Применим метод интегрирования по частям, выбрав , и вычислим

Вычисляя предел полученного выражения, воспользуемся правилом Лопиталя. Тогда

 

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА