Каково отношение площади закрашенной части к белой (вершины всех квадратов за исключением самого большого находятся в серединах

Соответствующих сторон)?

Прежде всего, нужно сделать рисунок покрупнее и провести вертикальные и горизонтальные линии, делящие квадрат на 16 маленьких квадратов. После этого сразу становится видно, что каждый квадратик, кроме четырех угловых, разбит на пару треугольников одинакового размера — синего и белого цвета. Угловые квадратики состоят из двух таких же треугольников, только они оба синего цвета.

Остается посчитать синие треугольники — их 20. И белые треугольники — их 12. Отношение синих к белым — 20:12 = 5: 3.

Получаем ответ: пять к трем.

В прямоугольный треугольник с катетами 2 и 6 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найти периметр квадрата.

 

В

Д

С

А

Е

F

Пусть в прямоугольном треугольнике АВС с катетами АВ=2 и АС=6 вписан квадрат АДЕF. Обозначим сторону квадрата за х.

Тогда ВД=2-х, FC=6-х.

Треугольники ВДЕ и EFC подобны по двум углам, отсюда имеем: .

Решив получаемое из этого соотношения квадратного уравнения  получим х=1,5, поэтому периметр квадрата равен 6.

 

 

Известно, что в D ABC ∠ A = 2 ∠ C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

2

3

А

С 1 миии

В

D

1

 

 

Проведем биссектрису АD. Тогда 1= 2= 3.

В ABC AD=DC.

Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. 

DABD ~ DABC по двум углам ( В – общий, 1 = 3).

Из подобия имеем: ,

или .

Для нахождения х и у получим систему уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, получим

откуда  y = , тогда x = 4 значит АВ = 4см, ВС = 6см.

 

Медиана треугольника в полтора раза больше стороны, к которой она проведена. Найдите угол между двумя другими медианами.

Решение:

Пусть АА ₁, BB ₁ и СС ₁ – медианы треугольника АВС, пересекающиеся в точке G, и АА ₁ = 1,5 ВС (см. рис.).
По свойству медиан треугольника GA ₁ = AA ₁ = ВС. Таким образом, в треугольнике BGC медиана GA ₁равна половине стороны ВС, к которой она проведена.
Следовательно, этот треугольник – прямоугольный с прямым углом G, то есть медианы BB ₁ и СС ₁пересекаются под прямым углом. 

Ответ: 90°.

На сторонах АВ, ВС и АС равностороннего треугольника АВС выбраны точки K, M и N соответственно так, что угол MKB равен углу MNC, а угол KMB равен углу KNA. Докажите, что NB – биссектриса угла MNK.

Решение:

Пусть ∠ MKB = ∠ MNC = α, ∠ KMB = ∠ KNA = β (см. рис.). Из треугольника KMB получим, что α + β = 120°. Теперь из треугольников NKA и NMC видно, что ∠ NKA = α, ∠ NMC = β.

Значит, и углы, вертикальные углам NKA и NMС, равны α и β соответственно. Следовательно, лучи KB и MB являются биссектрисами внешних углов треугольника KNM. Так как биссектрисы двух внешних углов треугольника и биссектриса внутреннего угла при третьей вершине пересекаются в одной точке, то NB – биссектриса угла MNK.

 

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°. Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC. Тогда очевидно, что треугольник АСМ - равносторонний. Но это значит, что треугольник АОD и треугольник ВОС - тоже равносторонние. Отсюда непосредственно следует, что треугольник АОВ = треугольник СОD, откуда имеем, что AB = CD