Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.

Числовыми характеристиками сл.в. являются математическое ожидание M(X), дисперсия D(X), среднее квадратичное отклонение .

Опр.3.1. Математическим ожиданием дискретной сл.в. Х с законом распределения                                             называется число 

Х	х1	х2	х3	…	хn
Р	р1	р2	р3	…	рn

 

                                                                    M(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn

 

Пример. Найти М(Х) числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.

Решение. Закон распределения имеет вид

Х	1	2	3	4	5	6
Р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 Тогда М(Х)= 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3,5

Свойства М(Х):

1. М(СХ)=С*М(Х).

2. М(Х+У)=М(Х)+М(У)

3. М(Х*У)=М(Х)*М(У)

 

Опр.3.2. Пусть Х – дискретная сл.в., возможные значения которой х1,х2,…,хn,

М(Х) – математическое ожидание, тогда сл.в. Х-М(Х) называется отклонением величины Х от ее математического ожидания, т.е. отклонение это сл.в., которая принимает значения: х1-М(Х), х2-М(Х),…, хn-М(Х).

Опр.3.3. Дисперсией сл.в. называется математическое ожидание квадрата

отклонения сл.в. от ее математического ожидания.

Дисперсия обозначается

Опр.3.4. Средним квадратичным отклонением сл.в. Х называется корень

квадратный из дисперсии.  .

На практике часто используют формулу .

Пример. Дискретная сл.в. имеет закон распределения

Х	0	1	2
Р	0,3	0,5	0,2

 Найти D(X)? ?

Решение: М(Х)= 0*0,3+1*0,5+2*0,2=0,9

Запишем закон распределения отклонения этой величины, т.е. величины

	(0-0,9)	(1-0,9)	(2-0,9)
Р	0,3	0,5	0,2

 

D(X)=(0-0,9) *0,3+(1-0,9) *0,5+(2-0,9) *0,2=0,81*0,3+0,01*0,5+1,21*0,2=0,49.

 

 

Задача. Найти М(Х)? D(X)? ? Сл.в., заданной по закону:

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,1	0,2	0,4

 

 

Самостоятельные работы (карточки с заданиями).

 

Карточки по теме: «Производная функции».

Задание: Найти производную?

Вариант	Примеры
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

 

 

Карточки по теме: «Комплексные числа, действия над ними».

Задания:

1. Найти сумму, разность, произведение, частное двух комплексных чисел.

2. Найти тригонометрическую форму комплексного числа.

3. Найти показательную и алгебраическую форму комплексного числа.

4. Решить уравнение.

Вариант	Примеры
1.	Z1=-1+3i, z2=3-2i, Z=1+i Z=4(cos90+isin90) 9 -12x+7=0
2.	Z1=0,5+i, z2=1-1,5i, Z=3+4i Z=3/5(cos90+isin90) -10x+50=0
3.	Z1=-1+2i,   z2=4-3i, Z=6+6i Z=8(cos270+isin270) -10x+50=0
4.	Z1=3+i, z2=1,5+i, Z=1-2i Z=0,5(cos30+isin30) +25=0
5.	Z1=10+i, z2=i, Z=1+i Z=4(cos45+isin45) +7=0
6.	Z1=2-2i, z2=-1+i, Z=2+0i Z=2(cos180+isin180) +3x-4=0
7.	Z1=-2+i, z2=3-i, Z=2+3i Z=9(cos270+isin270) +2x+2=0
8.	Z1=-1+7i, z2=8, Z=7+0i Z=-3(cos180+isin180) +9=0
9.	Z1=-i, z2=-4-5i, Z=-4+4i Z=0,5(cos90+isin90) +16=0
10.	Z1=0,5-i, z2=-0,5-i, Z=-1-i Z=7(cos60+isin60) +2x-1=0
11.	Z1=1-i, z2=1+i, Z=2+5i Z=4(cos120+isin120) 9 +1=0
12.	Z1=0,5+0,5i, z2=-i, Z=1- i Z=8(cos90+isin90) +9=0
13.	Z1=-1+i, z2=3-2i, Z=1+i Z=3(cos45+isin45) +2x+8=0
14.	Z1=i, z2=7+3i, Z=1+i Z=3(cos270+isin270) -2x+4=0
15.	Z1=4,5+2i, z2=-1+i, Z=1+i Z=0,5(cos30+isin30) +100=0
16.	Z1=2-i, z2=1-i, Z=-1+i Z=25(cos90+isin90) +3=0
17.	Z1=3+7i, z2=1-2i, Z=1+i Z=3(cos30+isin30) 9 +12x+7=0
18.	Z1=3+0i, z2=2-3i, Z=-4+3i Z=1(cos60+isin60) +2=0
19.	Z1=10-i, z2=-1+i, Z=1+3i Z=4(cos60+isin60) +5=0
20.	Z1=-5-i, z2=7i, Z=1+i Z=7,5(cos120+isin120) +8=0
21.	Z1=0,4+i, z2=0,6-2i, Z= +i Z=9(cos90+isin90) +3x+7=0
22.	Z1=2+5i, z2=4, Z= + i Z=2(cos360+isin360) +2x+7=0
23.	Z1=7-8i, z2=-1+5i, Z=-1-i Z=4(cos60+isin60) +3x+4=0
24.	Z1=3+2i, z2=-7+5i, Z= +i Z=3(cos30+isin30) -2x+2=0
25.	Z1=3+4i, z2=0,5-i, Z=1-2i Z=3(cos45+isin45) +2=0
26.	Z1=-3-4i, z2=0,3-1i, Z=1+2i Z=8(cos60+isin60) +4=0
27.	Z1=-1+3i, z2=3-2i, Z=4+i Z=9(cos90+isin90) -12x+7=0
28.	Z1=-1+i, z2=3-2i, Z=1+i Z=4(cos0+isin0) 9 -2x+7=0
29.	Z1=-4+3i, z2=1-2i, Z=1+i Z=4(cos30+isin30) 9 -12x+7=0
30.	Z1=-1+3i, z2=3-2i, Z=1+5i Z=2(cos90+isin90) 9 -12x+4=0

 

Контрольная работа №1 по теме: «Предел функции, производная, интеграл, ряд, дифференциальные уравнения»

 

1. Вычислить предел

                                       

1. Найти производную

                                           

1. Вычислить интеграл

                                    

1. Найти

                          

1. Определить сходимость ряда по признаку Даламбера

                                                   

 

 

1. Расписать первые три элемента ряда

                                                         

1. Решить дифференциальное уравнение

                      

Контрольная работа №2 по теме: «Комплексные числа»

 

1. Выполнить действия над комплексными числами

                                     

 

2. Перевести в тригонометрическую и показательную форму, построить график

                                                        

 

3. Перевести в алгебраическую форму

                                       

 

4. Решить квадратное уравнение

                                                  

 

 

Список литературы

 

1. Виноградов И. М.Элементы высшей математики. - М: Высш. шк., 2007.

2. Григорьев В.П. Элементы высшей математики. - М: Высш. шк., 2008

3. Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф.  

учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е

изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.

4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс,   

4-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2008.

5. Спирина. М.С. Теория вероятностей и математическая статистика:

учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина,

П.А. Спирин. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 352 с.

6. Шипачев В. Основы высшей математики: учебное пособие для ВТУЗов. –

 М: Высш. шк., 2007