Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

 

Несобственные интегралы 1-го рода

Пусть  определена на  и интегрируема на любом отрезке вида . Зафиксируем  и рассмотрим определенный интеграл .

Опр. Несобственным интегралом 1 рода функции  от  до  называется предел при  определенного интеграла от  до :

Если  конечный предел , то несобственный интеграл от  до  называется сходящимся, в противном случае (т.е. если предел  равен  или не существует) – расходящимся.

Геометрический смысл –  площадь бесконечной фигуры, ограниченной линиями  (см. рис. 8).

 

Аналогично для функции , определенной на  по определению

  (см. рис. 9).

Свойство линейности.

Если ,  сходятся, то сходятся интегралы

 .

Аналогично для .

Вычисление несобственного интеграла 1-го рода.

Пусть  – первообразная для  на , тогда

Таким образом,  сходится  конечный предел первообразной

 

Примеры.

,

Рис. 10

Рис. 11

1.

Рис. 12

2.

 

 

Исследование несобственных интегралов 1-го рода на сходимость.

Признаки сходимости:

1. Признак сравнения.

Пусть

a. Если  сходится, то  также сходится (см. рис. 13).

b. Если  расходится, то  также расходится.

2. Предельный признак сравнения:

пусть для  и  при , т.е. .

Тогда  и  оба сходятся или оба расходятся.

3. Если сходится , то сходится и  (обратное неверно!).

В качестве «образцов» интегралов для сравнения обычно используются интегралы

  (a>0).

Примеры.

1. .

 при  расходится  исходный интеграл расходится по предельному признаку.

При ; ; ,

;   интеграл сходится по предельному признаку.

3.

Т.к. при  (логарифм растет медленней степенной функции), то исходный интеграл сходится по признаку сравнения.

.

 – сходится  сходится по признаку 3.

Несобственные интегралы 2-го рода

Пусть  непрерывна на , но не ограничена в левой окрестности точки . Определенный интеграл  не существует, т.к.  – неограниченная. Рассмотрим . Т.к.  непрерывна на , то  – определенный интеграл.

  Опр. Несобственным интегралом 2 рода по  от функции , неограниченной в окрестности точки , называется предел

Если существует конечный предел (1.8.2), то несобственный интеграл 2-го рода называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

Геометрический смысл:

при  – площадь фигуры, ограниченной линиями  (см. рис. 15).

Рис. 15

 – несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой .

 

 – несобственный интеграл 2-го рода для функции с особой точкой

Рис. 16

Свойство линейности.

Если ,  сходятся, то сходятся интегралы

 .

Вычисление несобственного интеграла 2-го рода.

Случай функции с особой точкой

 – первообразная для

Таким образом,  сходится  конечный предел первообразной .

Примеры.

 

Рассмотрим интегралы

Рассмотрим случай интеграла с особой точкой в левом конце отрезка:

Случай

Аналогично рассматривается интеграл с особой точкой в правом конце отрезка. Таким образом

 имеет при  порядок роста  относительно ).

Примеры несобственных интегралов с несколькими особыми точками

1.

Исходный интеграл сходится, если сходятся оба интеграла в правой части:

a. .

b. .

.

(несобственный интеграл 2-го рода + несобственный интеграл 1-го рода ).

a.  – сходится при

b.  – сходится при

Значит,  расходится для любого .

.

a.

При

b.

При .

Таким образом исходный интеграл расходится.

Объемы тел вращения.

Рис. 26

Фигура, ограниченная линиями , вращается вокруг оси  (см. рис. 26).

Найдем объем  тела вращения. Зафиксируем . Сечение тела плоскостью  – круг радиуса . Тогда

Ту же фигуру вращаем вокруг оси  (см. рис. 27).

 

 

Рис. 27

Рассмотрим малый отрезок , где . При вращении соответствующей части фигуры получаем тело объема , где  – площадь кольца радиусов  и  соответственно:

Тогда

Суммируя по тонким "слоям", получим

Общий случай:

 

 

Таким образом получаем для вращения фигуры, ограниченной линиями , имеем

 

При вращении фигуры, ограниченной линиями  (см. рис. 28).

Рис. 28

 

Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода, их свойства. Признаки сходимости. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.