Дисперсия случайной величины и её свойства.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания

.

Слово «дисперсия» означает «рассеяние», т.е. дисперсия характеризует рассеяние (разбросанность) значений случайной величины около ее математического ожидания.

Из определения следует, что дисперсия – это постоянная величина, т.е. числовая характеристика случайной величины, которая имеет размерность квадрата случайной величины.

С вероятной точки зрения, дисперсия является мерой рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

Действительно, рассмотрим дискретную случайную величину, которая имеет конечное множество значений. Тогда, согласно определению, дисперсия вычисляется по формуле

. (2)

Если дисперсия мала, то из формулы (2) следует, что малы слагаемые . Поэтому, если не рассматривать значения , которым соответствует малая вероятность (такие значения практически невозможны), то все остальные значения мало отклоняются от математического ожидания . Следовательно, при малой дисперсии возможные значения случайной величины концентрируются около ее математического ожидания (за исключением, может быть, сравнительно малого числа отдельных значений). Если дисперсия велика, то это означает большой разброс значений случайной величины, концентрация значений случайной величины около какого-нибудь центра исключается.

Пример. Пусть случайные величины и имеют следующее законы распределения

Таблица 9. Таблица 10.

	-0,1	0	0,1	0,4			-10	0,5	10
	0,3	0,15	0,3	0,25			0,4	0,2	0,4

Найти математические ожидания и дисперсии этих случайных величин.

Решение. Воспользовавшись формулой для вычисления математических ожиданий, находим

.

.

С помощью формулы (2) вычислим дисперсии заданных случайных величин

.

Из полученных результатов делаем вывод: математические ожидания случайных величин и одинаковы, однако дисперсии различны. Дисперсия случайной величины мала и мы видим, что ее значение сконцентрированы около ее математического ожидания . Напротив, значения случайной величины значительно рассеяны относительно , а поэтому дисперсия имеет большое значение. ●

Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины равна нулю

.

Доказательство.

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат

.

Доказательство.

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

.

Доказательство. Воспользуемся определением дисперсии и свойствами 3, 2 математического ожидания, имеем

(3)

Определение. Математическое ожидание произведения отклонений случайных величин и от их математических ожиданий называется корреляционным моментом этих величин

.

Если случайные величины, величины и независимы, то, воспользовавшись свойствами 6 и 7 математических ожиданий, находим

.

Поэтому из формулы 3 имеем

,

откуда окончательно следует

. ●

С помощью метода математической индукции это свойство может быть распространено на случай любого конечного числа независимых случайных величин.

Свойство 4. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме их дисперсий

. ●

Свойство 5. Дисперсия разности двух случайных независимых величин равна сумме дисперсий этих величин

.

Доказательство.

Свойство 6. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию

квадрата этой величины минус квадрат ее математического ожидания

.

(Эта формула применяется для вычисления дисперсии)