Линейная и угловая скорости.

Радиус, прове­денный из центра окружности к мате­риальной точке, за время (t) описал угол φ (фи), который называют угловым перемещением. Угловое перемещение в Между­народной системе единиц выражают в радианах. Радиан — центральный угол между двумя радиуса­ми окружности, длина дуги между которыми равна радиусу. Его сокращенное обозначение— 1 рад.

Угловую скорость принято обозна­чать буквой ω (омега): , где

Частотой (ню) обращения называют число оборотов мате­риальной точки вокруг центра обращения за секунду: , где N — число оборотов, совершенных за время t.

Периодом (Т) обращения называют время, в течение ко­торого совершается один оборот точки по окружности. ,

Связь между периодом и частотой устанавливаем на примере. Пусть частота равна .

Угловое перемещение φ тела за период Т равно 2 . Поэтому угловая скорость , или . За Т точка проходит путь  Линейная скорость тела, движущегося по окружности, оставаясь постоянной по модулю, непрерывно изменяется по направлению и в любой точке направлена по касательной к траектории:  или . Связь линейной скорости и угловой находится по следующим формулам:

Примеры решения задач.

1. Тело движется равномерно вдоль оси Х со скоростью υ=2 м/с противоположно положительному направлению оси Х. Найдите положение тела в момент времени t= 10 с после начала движения, если начальная координата х₀= 5 м. Чему равен путь, пройденный телом?

Решение:  Запишем уравнение для координаты тела: .Согласно условию задачи . Теперь уравнение для координаты имеет вид: , .Пройденный телом путь равен: s=υt=20 м.                                                                                                                                                Ответ: -15 м; 20 м.

 

2. Движение точки на плоскости описывается уравнениями: , . Определите перемещение точки и постройте его на плоскости XOY.

Решение: Уравнение перемещения находим, исключив из обоих уравнений время . Подставляя это значение во второе уравнение для координаты у, получаем . Это уравнение прямой линии. Для построения прямой необходимы координаты двух точек: х=0; у=–8м при у=0; х=6м. Построим на чертеже точки В (0, -8) и С (6, 0). Через эти точки проходит указанная прямая.

График показан на рисунке.

3. Пользуясь графиком, изображенным на рисунке, определите перемещение тела через 4 с. Запишите формулу скорости для этого движения.

Решение: Начальная скорость по графику: υ₀ = 2 м/с, t=5c, (5)=6м/с.

Ускорение: = .

Скорость со временем возрастает, движение равноускоренное.

Общее уравнение скорости:

Уравнение скорости для данного случая: . Перемещение тела находится по формуле: ;  или .

При t=4с .              Ответ: .

 4. Конькобежец, разогнавшись до скорости υ₀ = 6 м/с, начал скользить равнозамедленно. Спустя 30 с модуль скорости конькобежца, движущегося прямолинейно, стал равен υ = 3 м/с. Найдите ускорение, считая его постоянным.

Решение: Конькобежец движется с постоянным ускорением

 = .                            Ответ: – 0,1м/с².

5.Свободно падающее тело за последнюю секунду падения прошло 1/3 своего пути. Найдите время падения и высоту, с которой упало тело.

Решение: Для решения воспользуемся формулой: .

Согласно условию задачи Δh=h-h₁, где h₁ – путь тела при свободном падении за время t₁=t – τ (τ = 1 c).

Тогда можно записать: . Кроме того , или . Отсюда . Тело упало с высоты: .                                                   Ответ: 146 м.

6. Какую скорость имеют точки обода колеса мотоцикла радиусом 40 см, если они движутся с ускорением 1м/с².

Решение: Точки обода колеса движутся равномерно по окружности с центростремительным ускорением . Отсюда скорость движения найдем по формуле: . Ответ: .

ОСНОВЫ ДИНАМИКИ.

Динамика – раздел механики, изучающий законы взаимодействия тел. Основные законы были сформулированы великим английским учёным Исааком Ньютоном.

I закон Ньютона (закон инерции): «Существуют системы отсчёта, относительно которых все тела, невзаимодействующие с другими телами, находятся в состоянии покоя или движутся равномерно и прямолинейно».

Инерция – явление сохранения скорости без воздействия на тело других тел.

I закон Ньютона применяется при движении космического корабля вдали от притягивающих тел.

Масса – мера инертности тела.

Сила – векторная величина, характеризующая количественную меру воздействия тел друг на друга. Сила имеет числовое значение (модуль), точку приложения и направление. Сила обозначается буквой F и измеряется в Н (ньютон).

Виды сил:

1. Сила тяжести , где g – ускорение свободного падения, g=9,8 м/с².

 

 

2. Сила упругости: (закон Гука), где k – жёсткость пружины (Н/м), - изменение длины пружины или удлинение (м), «минус» показывает, что сила упругости всегда направлена в противоположную сторону приложенной силе.

3. Сила реакции опоры  всегда направлена перпендикулярна поверхности.

 

 

4. Сила трения , где  - коэффициент трения, зависящий от рода поверхности

II закон Ньютона: «Ускорение а, которое возникает у тела, прямо пропорционально равнодействующей всех сил , приложенных к телу, и обратно пропорционально массе тела m: ».  – равнодействующая всех сил равна векторной сумме всех сил действующих на тело. Направления ускорения и равнодействующей всех сил всегда совпадают.

II закон Ньютона проявляется при движении планет, падении тел на Землю, торможении и разгоне автомобиля.

III закон Ньютона: «Силы с которыми тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны: ».

III закон Ньютона проявляется при взаимодействии тел: Солнца и Земли, Земли и Луны, автомобиля и поверхности Земли, бильярдных шаров.

Закон Всемирного тяготения: «Два тела притягиваются друг к другу с силой , прямо пропорциональной произведению их масс  и обратно  пропорционально квадрату расстояния R между ними ».

G – гравитационная постоянная или постоянная всемирного тяготения, это сила, с которой притягиваются два тела по 1кг, находящиеся на расстоянии 1м; .

Силы в механики

Название силы	Сила тяготения	Сила упругости	Сила трения а) сухого; б) жидкого
Природа взаимодействия	Гравитационная	Электромагнитная	Электромагнитная
Формула расчёта силы
Зависимость силы от расстояния или относительной скорости	Является функцией расстояния между взаимодействующими телами	Является функцией расстояние (зависит от деформации)	Является функцией скорости относительного движения
Зависит ли сила от массы взаимодействующих тел	Прямо пропорционально массам взаимодействующих тел	Не зависит	Не зависит
Как направлена сила	Вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие тела	Противоположно направлению перемещения частиц при деформации	Противоположно направлению вектора скорости
Сохраняет ли сила своё значение при переходе от одной инерциальной системы отсчёта в другую	Сохраняет, т.к. расстояние R не меняется	Сохраняет, т.к. деформация Х не меняется	Сохраняется, т.к. модуль относительной скорости не изменяется
Каковы условия применимости формулы	Материальные точки или симметричные шары	Достаточно малая величина деформации Х	Формула , выполняется приближённо, т.к. сила сухого трения зависит от скорости. При жидком трении до определённой скорости выполняется формула  и затем

Так как сила тяжести является примером проявления силы всемирного тяготения, то ускорение свободного падения , где М_З – масса Земли; , где R _З  - радиус Земли, h – высота над поверхностью Земли. g на полюсе > g на экваторе, т.к. Земля имеет форму сплюснутого шара и радиус на полюсе < чем на экваторе.

Чтобы тело могло стать искусственным спутником Земли, двигаться по круговой орбите вокруг планеты, ему необходимо сообщить первую космическую скорость. В этом случае . Тело оторвётся от земного притяжения если будет запущена с поверхности Земли со второй космической скоростью .

Вес тела    Р - сила, с которой тело в следствие притяжения к Земле действует на опору или подвес. Если тело не меняет скорость, то .

 

 

Вес тела меняется, если оно движется с ускорением по вертикали.

1 ) Вес увеличивается, если тело ускоренно движется вверх. По II закону Ньютона . Найдём проекции всех векторов на ось ОУ: По III закону Ньютона сила реакции опоры N равна весу тела . При увеличении веса тело испытывает перегрузку .        

2 ) Вес тела уменьшается, если тело ускорено движется вниз. По II закону Ньютона . Найдём проекции всех векторов на ось ОУ: По III закону Ньютона сила реакции опоры N равна весу тела . Тело может находиться в состоянии невесомости Р=0, если a = g.

 

Если тело участвует в двух движениях, то каждое из них происходит независимо друг от друга и описывается своими уравнениями.

Тело, брошенное горизонтально, участвует в движении по горизонтали (по инерции равномерно) и свободно падает по вертикали.

ПО ГОРИЗОНТАЛИ: .

ПО ВЕРТИКАЛИ: .

s – дальность полёта (м), h – высота падения (м). Время движения вдаль и вниз одинаково.

Тело брошено под углом  к горизонту. Движение по оси X – равномерное. Движение по оси Y – вверх замедленное, вниз свободное падение.  всё время движения по горизонтали равно сумме времени движения вверх и времени свободного падения.

 

ПО ГОРИЗОНТАЛИ: .

ПО ВЕРТИКАЛИ: .

Алгоритм решения задач.

1. Внимательное чтение условия задачи.
2. Определение характера движения тела.
3. Выполнение рисунка с изображением всех сил, действующих на тело.
4. Выбрать систему отсчета. Определить направление ускорения и изобразить на чертеже.
5. Записать уравнение второго закона Ньютона вначале в векторной форме, затем в скалярной, заменив все векторы их проекцией на оси координат.
6. Записать кинематические уравнения движения тела и решить всю систему уравнений.

Примеры решения задач.

1. Две силы соответствующие 8 и 6 Н действуют на одно тело. Найти равнодействующую этих сил, если: а) силы направлены в одну сторону; б) силы направлены в разные стороны; в) угол между направлениями сил равен 90^о.

Решение: а) Силы направлены в одну сторону  их равнодействующая находится как сумма  она равна 14 Н. б) Силы направлены в разные стороны  их равнодействующая равна разности сил, т.е. 2 Н. в) Если угол между силами равен 90^о, то равнодействующую находим по формуле .

2. Тела взаимодействуют друг с другом с силой 36 Н. Чему будет равна сила взаимодействия, если а) масса первого тела увеличить в 2 раза, а массу второго тела уменьшить в 3 раза; б) расстояние увеличить в 2 раза?

Решение: а) Сила взаимодействия двух тел прямо пропорциональна произведению масс, она будет равна . б) Сила взаимодействия двух тел обратно пропорционально квадрату расстояния между ними, её значение рассчитываем .

3. Автомобиль массой 1500 кг начинает двигаться с ускорением 0,5 м/с². Коэффициент сопротивление движению составляет 0,03. Определите силу тяги, развиваемую двигателем.

Решение: По II закону Ньютона . Найдём проекции всех векторов на выбранные оси. , . Из получившихся уравнений находим силу тяги, используя то, что =1250 Н.  Ответ: 1250 Н.

4. Сила тяжести тела равна 100 Н. Чему она будет равна, если а) оно поднимется на высоту равную радиусу Земли; б) расстояние от центра Земли увеличиться в 3 раза.

Решение: а) , т.к. h = R _З R =2 R _З. Так как расстояние между центром Земли и телом увеличилось в 2 раза, сила тяжести тела уменьшилась в 4 раза. Она будет равна 25Н. б) аналогично сила тяжести уменьшается в 9 раз. , она равна 11 Н.