Теория процессов дискретного времени.

Два типа процессов используются в теории стационарных рядов:

(i)     Стационарные процессы

(ii) Марковские процессы

Стационарность процесса

Стационарность играет центральную роль в теории процессов, потому что она заменяет (естественным образом) гипотезу наблюдений в статистике. Обычно учитываются два понятия. [12] Первое понятие стационарности может определить сильную сторону через стабильность в законе процесса: предположим, что  имеем равенство между

1.1.9

Это определение в любом случае может быть ослаблено: процессы называют стационарными второго порядка, если

· Мат.ожидание процесса постоянно:

· Автоковариции зависят только от разницы между наблюдениями:

Это последнее свойство означает, в частности, что дисперсия  постоянна: .

Примечание 2:

Если рассматривать маржинальные законы (при фиксированном t) процессов, стационарность (сильная) обозначает стабильность маржинального закона: закон  и идентичны для всех . Стационарность второго порядка соответствует только стабильности двух первых моментов:  В этом случае, ничего не мешает иметь ассиметрии и эксцессы переменных в функции во времени [11].

Примечание 3:

Если рассматривать временные зависимости, стационарность второго порядка предполагает только стабильность корреляции (момента второго порядка):  Стационарность в смысле силы значительно сильнее, чем это условие на моменте второго порядка, поскольку она предполагает стабильность всех связанных законов: в частности, это условие включает равенство пар законов  [10]

Понятие стационарности второго порядка, которое будет использовано далее, предполагает только стабильность первых двух моментов:

· Стационарность второго порядка допускает дисперсию моментов более высоких порядков (асимметрия законов или плотность очереди функции времени)

· Стабильность структуры зависимости между  обобщает стабильность коэффициентов корреляции (или ковариации).

Наиболее простой пример стационарного процесса – это белый шум. Однако, так же как возможно определить двумя понятиями стационарности, существует два вида белого шума [12]. Процесс (  – слабый белый шум, если существует  такая, что

Никакая гипотеза о независимости не выдвинута в этом определении. Только переменные разных дат не коррелируемы. Эта гипотеза независимости позволяет однако определить сильный белый шум, то есть:

Свойство марковости в дискретном времени.

Теория цепей Маркова (в дискретном времени) также важный элемент.

Это свойство соответствует идее о том, что желательно обобщить информацию, содержащуюся в прошлых переменных процессов через конечное число переменных (переменные состояния) [4]. В наиболее простом случае, желательно, чтобы переменные состояния были величинами запаздывания процесса: вся информация содержалась в k наиболее недавних величинах

1.1.10

которые можно переписать для порядка 1,

1.1.11

Возможно показать, что это отношение эквивалентно

Однако, эта теория, к поиску функции f такой, что  может быть трудна для реализации. В эконометрике, ищут отношение вида  позволяющее объяснить переменную Y с помощью экзогенных переменных . Эта функция g априори является трудной для представления самый простой способ, чтобы рассмотреть линейный случай. [7] Таким же образом теория моделей ARIMA стремится объяснить основываясь на его прошлом (и, возможно, шуме) в линейном виде.