Где n ( t )- количество объектов, отказавших на интервале времени наблюдения; N - количество объектов, работоспособных в начальный момент времени.

Основное равенство теории надежности

Р(t) + Q (t)=1                               (3)

Обращаю ваше внимание, что Р(t) не может быть больше 1. Зная одно слагаемое, всегда можно найти другое, используя формулу 3.

Пример 1

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп, требуется определить вероятность безотказной работы P (t)и вероятность отказа Q (t)в течение 3000 ч

 

Дано: N = 1000 шт. ∆ t = 3000 ч n = 80 шт.
Найти: P (t) Q (t)

 

Решение:

P (t) = ;

;

или .

Ответ: Р(t)=0,92, Q(t)=0,08

Интенсивность отказов – это отношение числа изделий, отказавших в единицу времени, к среднему числу изделий, продолжающих исправно работать:

 

(4)

 

где n(Δt) – число изделий, отказавших в интервале времени от t – Δt/2 до t + Δt/2; N = (N_i+N_i+1)/2 – среднее число изделий, исправно работающих в интервале Δt; N_i, N_i+1 - число исправно работающих изделий соответственно в начале и конце интервала Δt.

 

Рисунок 1 – Типичная зависимость интенсивности отказов аппаратуры во времени

 

Типичная кривая изменения интенсивности отказов во времени представлена на рисунке 1. На участке 0 – t ₁ (участок приработки) из-за скрытых дефектов интенсивность отказов высока, но с течением времени уменьшается. Для систем управления длительность участка составляет десятки, а иногда сотни часов. Уменьшить его можно за счет предварительной отбраковки и обкатки элементов и блоков.

Участок t ₁ – t ₂ (участок нормальной эксплуатации) характеризуется примерным постоянством интенсивности отказов. Длительность участка – тысячи и десятки тысяч часов.

На участке t ₁ > t ₂ в результате износа и старения интенсивность отказов начинает возрастать. При достижении времени t ₂ дальнейшая эксплуатация системы нецелесообразна.

При постоянной интенсивности отказов  λ (t) = const вероятность безотказной работы

Р(t) = е^-λt                 (5)

E – это основание натурального логарифма, может быть вычислено на калькуляторе или в программе Exel через функцию e (в степени) или через exp. Посмотрите какие функции есть на вашем калькуляторе.

Средняя наработка до отказа (среднее время безотказной работы) при постоянной интенсивности отказов определяется по формуле:

  T_ср = 1/λ(t)                 (6)

Пример 2

Интенсивность отказов системы λ = 2,5 · 10^–5 ч^–1. Требуется определить вероятность безотказной работы P(t), вероятность отказа Q (t) и среднюю наработку на отказ Тср, если t = 500 часов.

Дано:

λ = 2,5 · 10^–5 ч^–1

t = 500 часов

Найти: P(t), Q (t), Тср.

РЕШЕНИЕ:

По формуле (6) определим Тср

Тср=1/λ(t) Тср= 1/ 2,5*10^-5= 10⁵ /2,5= 40000 часов

Р(t) определим по формуле 5

Р(t) = е^-λt = е-^{2,5*0,00001*500} = 0,9877

Q(t) = 1-P(t)= 1-0,9877 =0,0123         

Ответ: Тср=40000ч, Р(t)=0,9877, Q(t)=0,0123.

Частотой отказов называется отношение числа отказавших элементов в единицу времени к первоначальному числу работающих (испытываемых) при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.

Частота отказов - отношение числа отказавших элементов в единицу времени к первоначальному числу работающих при условии, что все вышедшие из строя изделия не восстанавливаются.

                                  (7)

где n ( t) – число изделий, отказавших в интервале времени; N о - исходное число работоспособных объектов;  – интервал времени.

Задание: