Проверка решения задачи на основании теоремы Куна-Таккера

Теперь необходимо проверить, соблюдаются ли условия Куна-Таккера для нашей задачи и решить ее, чтобы проверить правильность предыдущих расчетов. В данном случае буду решать задачу в условиях ассиметричной информации.

Для начала следует найти функцию полезности агента при максимальных усилиях. За х примем ставку заработной платы агента в неудачный период, а за у – в удачный. Теперь преобразуем наши ограничения.

(27)

Полезность агента при минимальных усилиях:

(28)

Первое ограничение:

(29)

Первое ограничение в нашей задаче выглядит следующим образом:

(30)

Второе ограничение:

(31)

Составим целевую функцию:

(32)

Мы получили конечную формализованную задачу:

(33)

Для дальнейшего решения необходимо ввести ограничения , ,  и .

(34)

Теперь необходимо найти множители Лагранжа.

(35)

Затем вычисляем частные производные.

(36)

Теперь выразим переменную у из третьего равенства через х и подставим в четвертое:

(37)

Подставим х в третье равенство и найдем у:

(38)

У нас получились значения заработной платы базовой и премиальной такие же, как и во второй задаче. По графику наши ограничения выпуклые, значит, теорема Куна-Таккера применима для нашей задачи.

Вычислим множители Лагранжа.

Из первого равенства выразим и подставим во второе:

(39)

Теперь найдем :

(40)

Теперь проверим условие разложимости теоремы Куна-Таккера.

(41)

Найдем частные производные:

(42)

У нас получилась следующая система уравнений:

	(43)

Из первого уравнения выразили и подставили во второе. Таким образом, нашли и .

(44)

Таким образом, условия разложимости не соблюдены. Но, учитывая то, что на графике ограничения выпуклые, значения, полученные во втором задании и по теореме Куна-Таккера, сошлись. Значит, теорема Куна-Таккера для нашей задачи применима. Результаты сошлись, задача решена верно. Результаты получились следующие: , . Их можно увидеть на рисунке 22.

Рисунок 22. График решения задачи

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе решения поставленной задачи удалось прийти к определенным выводам. Значения, полученные разными способами, сошлись, это значит, что задача решена правильно. Проверено решение с помощью теоремы Куна-Таккера.

В процессе планомерного решения представленной задачи можно прийти к следующим выводам:

a) зарплата агента составит 1,08 при минимальных усилиях и 1,398 при максимальных. Заработные платы предусмотрены при отсутствии стимулирующего контракта;

b) заработная плата агента при стимулирующем контракте составит 0,9 при максимальных усилиях в неудачном периоде и 1,6 при максимальных усилиях в удачном периоде;

c)  прибыль, которую может получить фирма при минимальных усилиях агента, равна 45,5. А при максимальных усилиях прибыль будет равна 38,9. Кроме того, при отсутствии стимулирующих выплат прибыль принципала будет меньше, что говорит о выгодности заключения стимулирующего контракта и для агента и для принципала.

Цель работы, которая заключалось в решении задачи нелинейной оптимизации в рамках теории агентских отношений, получении знаний и навыков в области нелинейного программирования, достигнута.

Задачи, которые были заявлены во введении, реализованы:

a) найдено решение задачи нелинейного программирования в условиях ассиметричной информации графическим и аналитическим способами;

b) найдено решение задачи при ассиметричной информации об усилиях графическим способом и с помощью надстройки MS Excel «Поиск решения»;

c) проведено имитационное моделирование при симметричной и ассиметричной информации об усилиях;

d) проверено решение задачи нелинейной оптимизации по теореме Куна – Таккера и сравнить полученные результаты.

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1)  Беляев В.В., Чиргин А.В. Нелинейное программирование. Методические указания для выполнения лабораторных работ для студентов направлений подготовки бакалавриата 080100 и 080200/ НМСУ «Горный». Сост. СПб, 2013., 63с.

2)  Кузьминов Я. И., Бендукидзе К. А., Юдкевич М. М. Курс институциональной экономики: институты, сети, транзакционные издержки, контракты. Учебник для студентов ВУЗов. – М.: Изд. дом ГУ ВШЭ, 2006. – 442 с.

3) Курицкий Б.Я. Поиск оптимальных решений средствами EXCEL 7. 0. - СПб. 1997. - 384с.

4)  Тамбовцев В. Л. Введение в экономическую теорию контрактов: учеб. пособие. М.: ИНФРА-М, 2004. -144с.

5)  Юдкевич М. М., Подколзина Е. А., Рябинина А. Ю. Основы теории контрактов: модели и задачи: учеб. пособие. М.: ГУ ВШЭ, 2002. 352с.