Обыкновенное ДУ 1-го порядка -

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). ДУ 1-го порядка. Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Особые точки и особые решения ДУ.

Рис. 30

Рассмотрим на плоскости семейство эллипсов

 – произвольная положительная постоянная (см. рис. 30).

Найдем семейство кривых, ортогональных семейству эллипсов.

1. Составим дифференциальное уравнение (ДУ) семейства эллипсов.

Продифференцируем уравнение (2.1.1), считая :

Отсюда  - ДУ семейства эллипсов.  Тогда =

2. Составим ДУ ортогонального семейства. В т.  угловой коэффициент касательной должен быть равен , т.е. ДУ ортогонального семейства:

.

3. Найдем уравнение ортогонального семейства:

Получаем  – семейство парабол.

Обыкновенное ДУ 1-го порядка -

, где  – неизвестная функция;  – функция 3-х переменных.

ДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной:

 – определена в области .

Опр. Частным решением ДУ (2.1.2) называется функция , определенная на , при подстановке которой в ДУ (2.1.2) оно обращается в тождество на , т.е. .

Пример.

.

 – частное решение, т.к.  – тождество;

 – также частное решение, т.к.  – тождество.

Опр. График частного решения  ДУ называется интегральной кривой ДУ

Опр. Равенство , неявно задающее решение ДУ  называется частным интегралом ДУ .

Задача Коши для ДУ : найти частные решения ДУ , удовлетворяющие начальному условию , где  ,

т.е. задача Коши может быть записана следующими образом:

Геометрический смысл: найти интегральную кривую ДУ , проходящую через т. .

Теорема Коши существования и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-го порядка.

Пусть функция  и ее частная производная  непрерывны в области . Тогда для  точки существует и при том единственное решение задачи Коши.

Геометрический смысл:  единственная интегральная кривая, проходящая через т. .

Замечание. Решение определено только в окрестности т. .

Пример.

 и  непрерывны в области

, т.е. в окрестности точки 0. В любой большей окрестности 0 функция  и не удовлетворяет ДУ в этих точках.

Пример (неединственность в задаче Коши).

,

Из начального условия .

 – также решение данной задачи Коши.

Рис. 31

Через точку  проходит более одной интегральной кривой (см. рис. 31). Не выполняется условие непрерывности

Опр. Общим решением ДУ называется семейство функций, зависящих от параметра , т.е. ,  – произвольная постоянная, такое, что:

1. для  фиксированного  функция  является частным решением,

2. для  т.  такое, что частное решение  удовлетворяет начальному условию

Замечание. ДУ можно записать в виде  (используя то, что .

Опр. Равенство , неявно задающее общее решение называется общим интегралом ДУ

 

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ). ДУ 1-го порядка. Частные и общее решения ДУ, интегральные кривые. Задача Коши и теорема существования и единственности ее решения. Особые точки и особые решения ДУ.

Рис. 30

Рассмотрим на плоскости семейство эллипсов

 – произвольная положительная постоянная (см. рис. 30).

Найдем семейство кривых, ортогональных семейству эллипсов.

1. Составим дифференциальное уравнение (ДУ) семейства эллипсов.

Продифференцируем уравнение (2.1.1), считая :

Отсюда  - ДУ семейства эллипсов.  Тогда =

2. Составим ДУ ортогонального семейства. В т.  угловой коэффициент касательной должен быть равен , т.е. ДУ ортогонального семейства:

.

3. Найдем уравнение ортогонального семейства:

Получаем  – семейство парабол.

Обыкновенное ДУ 1-го порядка -

, где  – неизвестная функция;  – функция 3-х переменных.

ДУ 1-го порядка, разрешенные относительно производной:

 – определена в области .

Опр. Частным решением ДУ (2.1.2) называется функция , определенная на , при подстановке которой в ДУ (2.1.2) оно обращается в тождество на , т.е. .

Пример.

.

 – частное решение, т.к.  – тождество;

 – также частное решение, т.к.  – тождество.

Опр. График частного решения  ДУ называется интегральной кривой ДУ

Опр. Равенство , неявно задающее решение ДУ  называется частным интегралом ДУ .

Задача Коши для ДУ : найти частные решения ДУ , удовлетворяющие начальному условию , где  ,

т.е. задача Коши может быть записана следующими образом:

Геометрический смысл: найти интегральную кривую ДУ , проходящую через т. .