Теорема ( достаточное условие интегрируемости функции ).

Двойные интегралы

1. Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в прямоугольной области   задана непрерывная функция .Разобьем область   прямоугольной сеткой

на «элементарные области» ( = ), площади которых равны . Диаметром элементарной области   будем называть диагональ прямоугольника . В каждой такой области выберем произвольную точку , умножим значение функции  в этой точке на  и составим сумму всех таких произведений:

.                                             (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции .Рассмотрим предел интегральной суммы (1), когда   стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области   на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции  по области   и обозначается . В этом случае функция  называется интегрируемой в области ;  – область интегрирования;   и   – переменные интегрирования.

Таким образом, двойной интегралопределяется равенством 

                      (2)

       Здесь  площадь элементарной области.

Перейдем от прямоугольной области к произвольной. Пусть   – замкнутая ограниченная область. Как и в рассмотренном выше случае, покроем эту область прямоугольной сеткой и построим интегральную сумму . Суммирование ведется по тем прямоугольникам, которые лежат внутри области и не имеют общих точек с границей. Если предположить, что граница области − спрямляемая кривая, то предельный переход при  приведет к той же формуле (2).

Для всякой ли функции  существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает теорема.

Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция  непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

 

1. Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.

Объем цилиндрического тела

Пусть тело ограничено сверху поверхностью  0, снизу — замкнутой областью   плоскости , с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница области . Такое тело называется цилиндрическим ( -цилиндрическим). Найдем его объем . Для этого разобьем область   (проекция поверхности  на плоскость ) произвольным образом на   областей , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности . В своей совокупности они составляют все тело. Обозначим объем столбика с основанием   через , тогда

Возьмем на каждой площадке   произвольную точку . Заменим каждый столбик цилиндром с тем же основанием   (площадь которого равна ), а в качествевысоты возьмем значение функции в точке , то есть . Объем этого цилиндра приближенно равен объему  цилиндрического столбика, т. е.  Тогда:

.

Это равенство тем точнее, чем больше число   и чем меньше размеры «элементарных областей» . Естественно принять предел этой суммы при условии, что число площадок   неограниченно увеличивается (), а каждая площадка стягивается в точку ( 0), за объем   цилиндрического тела, то есть

  или

Итак, двойной интеграл от неотрицательной функции равен объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.

 

 

Двойные интегралы

1. Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в прямоугольной области   задана непрерывная функция .Разобьем область   прямоугольной сеткой

на «элементарные области» ( = ), площади которых равны . Диаметром элементарной области   будем называть диагональ прямоугольника . В каждой такой области выберем произвольную точку , умножим значение функции  в этой точке на  и составим сумму всех таких произведений:

.                                             (1)

Эта сумма называется интегральной суммой функции .Рассмотрим предел интегральной суммы (1), когда   стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области   на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции  по области   и обозначается . В этом случае функция  называется интегрируемой в области ;  – область интегрирования;   и   – переменные интегрирования.

Таким образом, двойной интегралопределяется равенством 

                      (2)

       Здесь  площадь элементарной области.

Перейдем от прямоугольной области к произвольной. Пусть   – замкнутая ограниченная область. Как и в рассмотренном выше случае, покроем эту область прямоугольной сеткой и построим интегральную сумму . Суммирование ведется по тем прямоугольникам, которые лежат внутри области и не имеют общих точек с границей. Если предположить, что граница области − спрямляемая кривая, то предельный переход при  приведет к той же формуле (2).

Для всякой ли функции  существует двойной интеграл? На этот вопрос отвечает теорема.

Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция  непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

 

1. Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.

Объем цилиндрического тела

Пусть тело ограничено сверху поверхностью  0, снизу — замкнутой областью   плоскости , с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси , а направляющей служит граница области . Такое тело называется цилиндрическим ( -цилиндрическим). Найдем его объем . Для этого разобьем область   (проекция поверхности  на плоскость ) произвольным образом на   областей , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности . В своей совокупности они составляют все тело. Обозначим объем столбика с основанием   через , тогда

Возьмем на каждой площадке   произвольную точку . Заменим каждый столбик цилиндром с тем же основанием   (площадь которого равна ), а в качествевысоты возьмем значение функции в точке , то есть . Объем этого цилиндра приближенно равен объему  цилиндрического столбика, т. е.  Тогда:

.

Это равенство тем точнее, чем больше число   и чем меньше размеры «элементарных областей» . Естественно принять предел этой суммы при условии, что число площадок   неограниченно увеличивается (), а каждая площадка стягивается в точку ( 0), за объем   цилиндрического тела, то есть

  или

Итак, двойной интеграл от неотрицательной функции равен объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл двойного интеграла.