Электроника, гр. Т11О-309Б-18, гр. М3О-334Б-18

Электроника, гр. Т11О-309Б-18, гр. М3О-334Б-18

ПЗ-3.   Примеры синтеза комбинационных логических устройств (КЛУ) в заданном базисе логических элементов (ЛЭ).

[Подготовка к выполнению Задания 2 курсовой работы КР2]

Задание

Синте­зировать схему КЛУ в базисе 2ИЛИ-НЕ по заданной последовательности конституентов единицы в случае, ес­ли хотя бы две входные переменные равны «лог. 1»).

Основные теоретические положения

Комбинационными логическими устройствами или автоматами без памяти назы­ва­­­ют логические устройства, выходной сигнал которых однозначно определяется то­ль­ко действующей в настоящий момент комбинацией входных переменных  и не зави­сит от значений переменных, действовавших на входе в предыдущие моменты време­ни.

Для описания алгоритма функционирования КЛУ обычно используют таблицы истинности или функции алгебры логики. Таблица, содержащая все возможные ком­бинации входных переменных и соответствующие им значения выходных перемен­ных, называется таблицей истинности или комбинационной таблицей, а функция F (X), выраженная через совокупность входных переменных Х _{n - 1} …. Х ₀ с помощью операций алгебры логики, носит название функция алгебры логики (ФАЛ).

Произведение входных переменных строки таблицы истинности, на которой функция F (X) = 1, называют конституента единицы, а равная нулю – конституента нуля.

 Решение

1. По заданным конституентам единицы составим таблицу ис­тин­­ности. Так как максмальная из заданных консти­туент равна 7, то для отображения входного кода проектируемого устройства достаточно ] l о g 2 7[ = 3 переменных (трехразрядный входной код X 2 X 1 X 0 ), где ]…[ – ближайшее большее целое число. Таблица истинности X 2 X 1 X 0 F (Х) 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1    Данная таблица со­держит 8 строк (+1 для обо­значения переменных) и 4 стол­бца, в трех из кото­рых записаны все возможные ком­бина­ции входных ко­дов X 2 X 1 X 0, а в четвертом - зна­чения функции F (Х), опреде­ля­емой четырьмя кон­ституентами единицы.  Эти консти­ту­енты можно перечислить в любом коде, например. в дво­ич­ном (011, 101, 110, 111), либо в десятичном (3, 5, 6, 7). При этом заданный список конституент единицы (как и конституент нуля: 000, 001, 010 и 100) фак­тически определяет алгоритм работы устройства).  2. Используя таблицу истинности, запишем ФАЛ КЛУ в двух формах: в СДНФ и СКНФ.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (C ДНФ) записи ФАЛ называют логическую сумму (операция ИЛИ) логических произведений (операция И) входных переменных, в каждое из которых аргумент или его отрицание входят один раз:

Фактически СДНФ это логическая сумма конституент единицы, заданной ФАЛ.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) записи ФАЛ называют логическое произведение (операция И) разрядных логических сумм (операция ИЛИ) входных переменных, в каждую из которых аргумент или его инверсия входят один раз:

Фактически СКНФ это логическое произведение конституент нуля заданной ФАЛ.

Произведем минимизацию ФАЛ. При увеличении числа переменны, ФАЛ в виде C ДНФ или СКНФ достаточно громоздкие и их практическая реализация сопряжена со значительными затратами материальных ресурсов. Поэтому на практике ФАЛ минимизируют. Целью минимизации является сокращение числа членов исходных выражений. Существует большое число  методов минимизации, но все они, фактически, базируются на использовании основных теорем алгебры логики.

Рис. 2.1. Карты Вейча для функций 2-х, 3-х и 4-х переменных

а)                                     б)               в)

При большом числе переменных для минимизации ФАЛ используют специальное программное обеспечение. При небольшом числе переменных (не более 4-5) хорошие результаты дает табличный метод, например, метод Вейча-Карно,  предполагающий ис­пользование специальных прямоугольных таблиц (карт), построенных на основе таблиц истинности (рис. 2.1).

 При этом каждой клетке таблицы ставится в соответствие определенный набор входных переменных, причем коды рядом расположенных клеток являются соседними (отличающимися только одним разрядом), а в саму таблицу вносятся значения выходного сигнала для заданного набора переменных.

Искомый код определяется пересечением строк и столбцов, озаглавленных соответствующими переменными. Например, левая клетка (отмеченная звездочкой на рис. 2.1 а) соответствует коду Х ₁ Х ₀. Для таблицы, показанной на рис. 2.1 б, нижняя правая клетка, соответствует коду , а показанной на рис. 2.1 в – .

Заполним карту Вейча данными таблицы (см. п.1), используя ее единичные значения: 0 11, 101, 110, 111 (рис. 2.2). Объединим единичные значения ФАЛ для получения выражения для самой фун­кции F (X) (рис. 2.3), а при объединении нулевых значений – выражения для функции , инверсной исходной функции (рис. 2.4), руководствуясь следующми правилами: а) выделим на карте Вейча ФАЛ прямоугольные области и объединим клетки с выбранным значением функции «лог 1» (или «лог. 0»). Каждая область должна содержать 2 k = 1, 2, 4, 8, 16, … клеток, где k - целое число 0, 1, 2, 3, 4, …. Выделенные области могут пересекаться, т.е. одна клетка может входить в несколько различных областей (см. рис. 2.3). При этом каждая из выделенных областей описывается произведением переменных, которые для этой области остаются одинаковыми;

б) при объединении клеток нужно получить минимальное число максимально больших областей, включающих все единичные (или нулевые) значения ФАЛ;

в) логически суммируют полученные произведения переменных (или переумножают полученные суммы переменных);

Рис. 2.5. Возможные варианты объединения ячеек в области

Примечание. Противоположные края клеток являются соседними и их можно объединять. При одинаковых значениях функции F (X) во всех клетках двух противоположных краев карты при ее свертывании получим цилиндр (рис. 2.5), а при 4-х переменных (см. рис. 2.1 в) и одинаковых значениях функции F (X) во всех клетках в 4-х краях карты при ее двойном свертывании получим тор («бублик»).

Итак (см. рис. 2.3), для области I одинаковыми остаются переменные Х ₁ и Х ₀, для области II – Х ₂ и Х ₀, для области III – неизменны Х ₂ и Х ₁. Суммируя произведения неизменных переменных для каждой из выделенных областей, получим минимальную дизъюнктивную форму (МДФ) записи ФАЛ:

F (X) = Х ₁ Х ₀ + Х ₂ Х ₀ + Х ₂ Х ₁.

В правильности полученной ФАЛ можно убедиться, подставляя в неё различные комбинации входных переменных. Например, для входного кода 001 имеем:

¸

Электроника, гр. Т11О-309Б-18, гр. М3О-334Б-18

ПЗ-3.   Примеры синтеза комбинационных логических устройств (КЛУ) в заданном базисе логических элементов (ЛЭ).

[Подготовка к выполнению Задания 2 курсовой работы КР2]

Задание

Синте­зировать схему КЛУ в базисе 2ИЛИ-НЕ по заданной последовательности конституентов единицы в случае, ес­ли хотя бы две входные переменные равны «лог. 1»).