VIII. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

 

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этом пункте мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим свойства основных элементарных функций.

 

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С. Постоянную функцию также называют константой. Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0, C).

 

Свойства постоянной функции.

· Область определения: множество действительных чисел.

· Постоянная функция является четной.

· Область значений: множество, состоящее из единственного числа С.

· Постоянная функция невозрастающая и неубывающая.

· Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точку (0, C) координатной плоскости.

Линейная функция - функция вида . Графиком линейной функции является прямая, для построения которой достаточно двух точек. При этом:

ü если , то получаем функцию , которая называется прямой пропорциональной

зависимостью. Графиком такой функции тоже является прямая, проходящая через начало координат. Коэффициент  называется угловым коэффициентом этой прямой. Он равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси ОХ: . При положительных  этот угол острый, при отрицательных – тупой.

ü  если , получаем функцию . Графиком такой функции является прямая, параллельная

оси ОХ.

ü Функция   называется обратной пропорциональной зависимостью.

Графиком такой функции является гипербола. Если , то ветви гиперболы расположены в 1 и 3 координатных четвертях, если  - во 2 и 4 четвертях.

 

Квадратичная функция – функция вида .

       Графиком квадратичной функции является парабола. Если , то ветви параболы направлены вверх, если , то ветви направлены вниз.

Координаты вершины параболы вычисляются по формулам: .

Корни функции (нули функции) или точки пересечения графика функции с осью ОХ - необходимо решить уравнение .

 

Кубическая парабола - задается функцией .

График функции . Он представляет собой одну из ветвей параболы.

 

График показательной функции

График логарифмической функции

Графики тригонометрических функций

                                                                                                     

Графики обратных тригонометрических функций

                                                                         

                                  

                                         

IX. Простейшие преобразования графиков