Решение систем уравнений, сводящихся к СЛАУ

Некоторые системы уравнений с помощью замены переменных можно свести к линейным. Рассмотрим несколько примеров.

Пример.

Решите систему уравнений .

Решение.

Так как , то система примет вид . Введем новые переменные . При такой замене исходная система уравнений сведется к системе линейных уравнений .

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Так как он отличен от нуля и число неизвестных переменных равно числу уравнений системы, то эта система определена. Найдем ее решение методом Крамера:

Выполнив обратную замену, приходим к системе уравнений , откуда находим ее решения .

Пример.

Найдите все решения системы уравнений .

Решение.

Заменой переменных исходная система сводится к СЛАУ .

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Он отличен от нуля. Найдем решение матричным методом.

Выполняем обратную замену .

Ответ:

Примеры задач, сводящихся к решению систем линейных алгебраических уравнений

Чтобы показать большую практическую значимость решения систем линейных алгебраических уравнений, разберем несколько задач из различных разделов математики, которые сводятся к решению СЛАУ.

Пример.

Составьте каноническое уравнение эллипсоида, проходящего через три точки .

Решение.

Каноническое уравнение эллипсоида в прямоугольной декартовой системе координат имеет вид . Наша задача состоит в определении параметров a, b и с. Так как эллипсоид проходит через точки А, В и С, то при подстановке их координат в каноническое уравнение эллипсоида оно должно обращаться в тождество. Так мы получим систему из трех уравнений:

Обозначим , тогда система станет системой линейных алгебраических уравнений .

Вычислим определитель основной матрицы системы:

Так как он отличен от нуля, то решение мы можем найти методом Крамера:

Проведем обратную замену

Следовательно, искомое каноническое уравнение эллипсоида имеет вид .

Ответ:

.

Пример.

Представьте дробно рациональное выражение в виде суммы простейших дробей.

Решение.

Очень подробно решение подобных примеров разобрано в разделе разложение дроби на простейшие.

Разложим многочлен, находящийся в знаменателе, на множители (при необходимости смотрите статью разложение многочлена на множители). Очевидно, что x = 0 и x = 1 являются корнями этого многочлена. Частным от деления на является . Таким образом, имеем разложение и исходное выражение примет вид .

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Приравняв соответствующие коэффициенты числителей, приходим к системе линейных алгебраических уравнений . Ее решение даст нам искомые неопределенные коэффициенты А, В, С и D.

Решим систему методом Гаусса:

При обратном ходе метода Гаусса находим D = 0, C = -2, B = 1, A = 1.

Получаем,

Ответ: