Понятие и определение нечетких множеств

Оказывается, существуют особые множества, принадлежность или непринадлежность к которым определяется не двузначной логикой (да – нет), а гораздо более сложной.

Парадоксы "Куча" и "Лысый" были открыты древнегреческим философом Евбулидом (IV в. до н.э.) и могут быть сформулированы следующим образом.

• " Куча ": если к зерну добавлять по одному зерну, то с какого добавленного зерна начнется куча. 1 "
• Лысый ": если человек теряет волос за волосом, то с какого потерянного волоса он становится лысым?

К рассматриваемой проблеме имеет отношение понятие физической непрерывности опреде­ление которой было дано АЛуанкарв в книге "Наука и гипотеза" (1902 г.). Этот выдающийся фран­цузский математик и физик считал, что понятие физической непрерывности сводится к допущению возможности одновременного и совместного существования следующих равенств и неравенства:
А = В, В = С, А< С. Таким образом, приведенные соотношения, по мнению Э .Бореля, сводятся к заявлению, что средства, которыми мы не располагаем, не позволяют нам отличать величину А от величины В, ве­личину В от величины С, но все же мы можем установить, что величина А меньше величины С. Э. Борель считает, что формулы А. Пуанкаре не только дают единственное логичное разрешение пара­докса "Куча", но и показывают, что этот парадокс позволяет выявить фундаментальное свойство экспериментальной науки - наличие понятия физической непрерывности. Все сказанное в полной мере относится и к парадоксу "Лысый".

Теория нечетких множеств была разработана как инструмент для приближенного описания явлений, когда они настолько сложны и плохо определены, что не поддаются описанию в общепри­нятых количественных терминах.

Теория нечетких множеств — раздел прикладной математики, посвященный методам анализа неопределенных данных, в которых описание неопределенностей реальных явлений и процессов проводится с помощью понятия о множествах, не имеющих четких границ.

Теория нечетких множеств — это расширение классической теории множеств.

В классической теории множеств принадлежность элементов некоторому множеств понимается в бинарных терминах в соответствии с четким условием — элемент либо принадлежит, либо не принадлежит данному множеству. В теории нечётких множество допускается градуированное понимание принадлежности элемента множеству; степень принадлежности элемента описывается при помощи функции принадлежности.

В данной теории введено понятие лингвистической переменной, значениями которой являются слова и предложения естественного или искусственного языка. Каж­дая лингвистическая переменная может иметь несколько лингвистических значений, которые в сово­купности образуют терм-множество этой переменной.

Если понимать слово истинность как лингвистическую переменную, принимающую значения "истинно", "очень истинно", "совершенно истинно", "не очень истинно" и т.д., то можно перейти к так называемой нечеткой лингвистической логике или просто нечеткой логике. В такой логике "истинность" трактуется как лингвистическая переменная, для которой значения "истинно" и "лож­но" - лишь два первичных терма в терм-множестве этой переменной, а не пара крайних точек в мно­жестве значений истинности. Нечеткая логика может служить основой для приближенных (т.е. не строгих) рассуждений, чем традиционная двузначная логика.

Формально НЕЧЕТКОЕ МНОЖЕСТВО можно представить как множество, принадлежность к которому определяется функцией, принимающей значения на отрезке [0,1]. Это позволяет рассмат­ривать нечеткую логику как обобщение многозначной логики. В таком же смысле классическую ло­гику можно рассматривать как обобщение двузначной логики.

Нечеткое множество характеризуется функцией принадлежности, отображающей некоторое множество (носитель нечеткого множества) в отрезок [0; 1]. Значение функции принадлежности показывает степень принадлежности соответствующего элемента носителя рассматриваемому нечеткому множеству. Это значение меняется от 0 (полная непринадлежность) до 1 (полная принадлежность). ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРИИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ. Теория нечетких множеств применяется в теории и практике управления системами, в экономике и финансах для решения задач в условиях неопределенности ключевых показателей. Ряд стиральных машин и фотоаппаратов сегодня оборудованы нечёткими контроллерами.