Применение медиан в математической статистике

Медианы бывают не только в геометрии, но и в математической статистике. Пусть нужно найти среднее значение некоторого набора чисел , ,..., а_п. Можно, конечно, за среднее принять среднее арифметическое

Но иногда это неудобно. Допустим, что нужно определить средний рост второклассников Москвы. Опросим наугад 100 школьников и запишем их рост. Если один из ребят в шутку скажет, что его рост равен километру, то среднее арифметическое записанных чисел окажется слишком большим. Гораздо лучше в качестве среднего взять медиану чисел ,..., а_п.

Предположим, что чисел - нечетное количество, и расставим их в неубывающем порядке. Число, оказавшееся на среднем месте, называется медианой набора. Например, медиана набора чисел 1, 2, 5, 30, 1, 1, 2 равна 2 (а среднее арифметическое значительно больше - оно равно 6).

Медианы тетраэдра

Оказывается, можно говорить о медианах не только для треугольника, но и для тетраэдра. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центроидом (точкой пересечения медиан) противолежащей грани, называется медианой тетраэдра. Как и медианы треугольника, медианы тетраэдра пересекаются в одной точке, центре масс или центроиде тетраэдра, но отношение, в котором они делятся в этой точке, иное – 3:1, считая от вершин. Эта же точка лежит и на всех отрезках, соединяющих середины противоположных ребер тетраэдра, его бимедианах, и делит их пополам. Это можно доказать, например, из механических соображений, поместив в каждую из четырех вершин тетраэдра грузики единичной массы.

Шесть доказательств теоремы о медианах

Давно замечено, что познакомиться с разными решениями одной задачи бывает полезнее, чем с однотипными решениями разных задач. Одной из теорем, допускающих, как и многие другие классические теоремы элементарной геометрии, несколько поучительных доказательств, является

Теорема о медианах треугольника. Медианы , В  и С  треугольника ABC пересекаются в некоторой точке М, причем каждая из них делится этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины: AM: M = BM: M = CM: M =2. (1)

Во всех приводимых далее доказательствах, кроме шестого, мы устанавливаем только, что медиана В  проходит через точку М, которая делит медиану А  в отношении 2:1. Если в соответствующем рассуждении заменить отрезок В   на отрезок С , то мы получим, что и С   проходит через М. Этим будет доказано, что все три медианы пересекаются в некоторой точке М, причем АМ:М  - 2. Поскольку все медианы равноправны, можно заменить А   на В   или СС₁ отсюда вытекает (1).

Первое доказательство (8 класс).

Пусть К - середина отрезка AM, В' - точка пересечения прямой ВМ со стороной АС. Нам достаточно доказать, что АВ' = В'С. Через точки К и   параллельно прямой ВМ проведем отрезки KL и N (рис. 1). Поскольку АК - КМ = М   и С = В, по теореме Фалеса получаем

AL = LB ' = B ' N =; NC.

АВ'=В'С.