Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

    .

    Решение. Запишем характеристическое уравнение:

     

 или, вычисляя определитель, получим:

    , т.е.

    .

    Находим его корни , . Найдем собственные векторы  и , отвечающие соответственным этим собственным числам. Для этого рассмотрим ОСЛАУ:

    .   

    Вычислим ОСЛАУ при . Тогда получаем систему

    .

В силу того, что два уравнения одинаковы (т.е. если второе уравнение разделить на 4, то получим первое уравнение), вычеркнем второе уравнение. В итоге получим одно уравнение с двумя неизвестными . Выразим одну из переменных через другую: .Полагая , получим , и потому

    .

Придавая различные значения параметру с получим собственные векторы, соответствующие собственному числу

Вычисляя ОСЛАУ при  приходим к системе

   

Так как два уравнения одинаковы, то вычеркивая одно из них и выражая одну переменную через другую, получим , , и потому

    .

Так как с и d - произвольные числа, то можно положить c =1 и d =1. Тогда получим собственные векторы:

   

    .

Задания к контрольной работе №1

Задание №1

1.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить А ² + ВА+2В.

2.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить А ² + АВ-3В.

3.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² + АВ- 3 А.

4.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² - 3 В + ВА.

5.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² +2А + ВА.

6.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить 2 А ² -3В + ВА.

7.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² - 2 В + 3ВА.

8.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² -3В + 2 АВ.

9.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить 2А ² - 3 В + ВА.

10.Даны матрицы А =  и В = .

Вычислить В ² -4А + ВА.

 

 

Задание №2

 Решить системы линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

б) по правилу Крамера;

в) матричным способом.

 

 

1.                                                6.

2.                                               7.

3.                                              8.

4.                                                9.

5.                                             10.

 

Задание №3

Решить систему линейных алгебраических уравнений

а) методом Гаусса;

1.                                                2.

3.                                             4.

5.                                           6.

7.                                               8.

9.                                       10.

  Задание №4

Найти собственные числа и собственные векторы матрицы А.

 1.                                          2.

3.                                          4.

5.                                               6.

7.                                         8.

9.                                             10.

 

 

УДК 517

Зубков А.Н.,Павлова М.Н.

Матрицы и их применение /А.Н.Зубков,М.Н.Павлова.–Ростов –на-Дону:Издательский центр ДГТУ,2011.-41с.

 

Учебное пособие написано в соответствии с учебной программой по высшей математике для технических специальностей ДГТУ и его филиалов. Цель работы – отразить применение таких основных понятий линейной алгебры как матрица и определитель при решении систем линейных алгебраических уравнений.

В пособии приводятся основные понятия и теоремы, которые необходимы в практическом применении при решения задач контрольных работ первого семестра студентами очно-заочной и вечерней форм обучения.

 

 

                           Рецензенты:

 …………………………………канд.физ.-мат.наук, доцент ЮФУ………………..

………………………………………………доцент ДГТУ

 

 

                                   В В Е Д Е Н И Е

…..Предлагаемое учебное пособие написано в соответствии с учебной программой по высшей математике для технических специальностей ДГТУ и его филиалов. Цель работы – отразить применение таких основных понятий линейной алгебры как матрица и определитель при решении систем линейных алгебраических уравнений, которые необходимы студентам первого семестра прежде всего при выполнении контрольных заданий для очно-заочной и вечерней форм обучения.

  Работа состоит из пяти разделов,которые выделены в виде параграфов. В первых четырех из них приводятся основные понятия и формулируются теоремы, используемые при решении задач. В необходимых случаях даются примеры, поясняющие смысл определений и теорем. Затем приводятся подробные решения сформулированных задач со ссылкой на приведенные ранее формулы, определения и теоремы. Даются упражнения для закрепления усвоения основных понятий. В заключительном пятом параграфе излагаются подробно решения типовых задач,связанных с решением систем линейных алгебраических уравнений и которые необходимы при решении контрольных заданий.В заключение приводится список типовых заданий для студентов, необходимых для успешного усвоения ими данного материала

 

                                         Содержание

ВВЕДЕНИЕ

§ 1.Матрицы и операции над ними.

§ 2.Опредедителб матрицы и обратная матрица.

§ 3.Решение систем линейных алгебраических уравнений.

§ 4.Характеристическое уравнение. Собственные векторы и собственные значения матрицы A_n‰n.Приведение матрицы A_n‰n  к диагональному виду.

§ 5.Образцы решения контрольных работ.

 

Рекомендуемая литература

1.Кострикин А.И.Введение в алгебру/А.И..Кострикин.-М.:Наука,1977.

2.Ефимов Н.В. Квадратичные формы и матрицы/Н.В.Ефимов.-Наука,1964.

3.Шипачев В.С. Высшая математика./В.С. Шипачев.- М.: Высшая школа,1985.