Применение методов спектрального

 

АНАЛИЗА ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ

ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

§ 14.1. Спектры сигналов в системах автоматического управления. Частотные характеристики

 

а. Преобразование линейной системой гармонического

 

Входного сигнала.

Определение установившегося процесса

 

Рассмотрим линейную автоматическую систему, описы-ваемую дифференциальным уравнением n -го порядка с по-стоянными коэффициентами

(a	p n + a p n −1	+... + a	n −1	p + a) x (t)=
0	1			n	(14.1)
= (b 0 p m + b 1 p m −1... + b m −1 p + b m) g (t),

 

107

F (s)

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ ПРИ АНАЛИЗЕ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

Г л а в а 3

ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

§ 15.1. Преобразование Лапласа

А. Основные понятия

Операционное исчисление нашло широкое применение в теории автоматического управления, где с его помощью про-изводится анализ переходных и установившихся процессов в автоматических системах. Сущность метода операционного исчисления заключается в следующем. Пусть задана некото-рая функция f (t) действительной переменной t, причем такая, что для нее существует преобразование Лапласа (L-преоб-разование)

∞

L[ f (t)] = F (s) = ∫ f (t) e ^{− st} dt,

0

т. е. интеграл в правой части этого равенства является схо-дящимся. Используя L-преобразование, можно каждой пре-образуемой по Лапласу функции f (t) (такие функции со-

ставляют класс функций, называемых оригиналами) поста-вить в соответствие функцию F (s) комплексной переменной s (при этом функция F (t) называется изображением функции f (s)).Преобразование Лапласа имеет ряд замечательныхсвойств. Например, дифференцированию оригинала f (t) по

переменной t соответствует операция умножения                                                                                                                    на

комплексную переменную s, а интегрированию оригинала

164

Рис. 16.1

Г л а в а 4

ПРИМЕНЕНИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

§ 16.1. Передаточные функции и частотные характеристики системы

Рассмотрим некоторые вопросы, связанные с применени-ем преобразования Лапласа при исследовании непрерывных систем автоматического управления. Будем полагать, что процессы, происходящие в системе, описываются линейны-ми дифференциальными уравнениями

с постоянными коэффициентами. Та-ким образом, мы ограничимся в на-

стоящей главе рассмотрением линей-ных систем с постоянными парамет-

рами, т. е. не зависящими ни от времени, ни от состояния системы.

Пусть дифференциальное уравнение автоматической системы (рис. 16.1) записано в операторной форме (см. § 6.1, т. 1):

D (p) x (t)= M (p) g (t),

(16.1)

где D (p) и M (p) — многочлены от p:

D (p)= a p n + a p −1		+... + a	n −1	p + a;
0	1				n	(16.2)
M (p)= b p m + b p m −1+...+ b					p + b
						,
0	1		m −1		m

p — оператор дифференцирования; x (t) — выходная коорди-ната системы; g (t) — управляющее воздействие.

Преобразуем уравнение (16.1) по Лапласу, предположив нулевые начальные условия. Введя обозначения X (s) =

= L[ x (t)], G (s) = L [ g (t)], получим

D (s) X (s) = M (s) G (s),

(16.3)

 

РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

 

ДИСКРЕТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА. МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

 

 

 

Г л а в а 5

 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

 

§ 17.1. Дискретные функции и действия над ними

 

А. Определение дискретной функции

 

Наряду с непрерывными функциями, определенными на действительной оси, в теории автоматического управления рассматривают функции, которые определены только в от-

 

дельных точках t ₁, t _2, …, t _n. Такие функции называют дикрет-ными (или решетчатыми).В частности,можно рассматривать

 

Рис. 17.1

 

функции, определенные только в равноотстоящих точках t =

 

= nT,где n —любое целое число,а T — постоянная,называе-мая периодом дискретности. Эти функции принято обозна-

чать f [ nT ] (рис. 17.1).

 

255

 

В последнем равенстве w [ n ] — решение однородного

 

уравнения (17.114) и, следовательно, все слагаемые, стоящие под знаком суммы, обращаются в ноль. Таким образом, уравнение (17.130) обращается в тождество, т. е. дискретная функция x [ n ], определенная по формуле (17.127), является его решением.

 

Рассмотренный прием позволяет определять общий вид решения неоднородного разностного уравнения общего вида (17.130), часто встречающегося в теории дискретных систем автоматического управления.

Задача решения разностных уравнений с постоянными коэффициентами существенно упрощается при использова-нии дискретного преобразования Лапласа, которое рассмот-рено в гл. 19.

 

 

Глава 6