Вопрос: может ли наука существовать без моделей и моделирования?

 

–биология (в которую математические модели только начали проникать);

– эстетика ("кибернетические теории искусства").

 

Тот факт, что разработанные в математике схемы моделей - так уж сложилось исторически - ориентированы в первую очередь только на "точные" науки естествознания, является основным дефектом современной математики.

 

В процессе "математизации" общие принципы должны не привноситься извне, а возникать на базе анализа конкретного материала той или иной области человеческой деятельности.

Пример, общеизвестно, что уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами - это схема всех моделей колебательного движения, в какой бы конкретной ситуации они не возникали.

 

Целью процесса моделирования являются:
- анализ наблюдаемых явлений;

- поиск физико-химических закономерностей, которым это явление подчиняется, а также связей, присущих его частям;

- построение на их основе физико-химических моделей - «эквивалентов» объекта изучения («идеализация» объекта – отбрасывание несущественных деталей – при построении моделей материального баланса не учитывают дефекта массы из-за радиоактивного распада);

- подбор подходящего математического аппарата для описания физико-химических процессов (построение математической модели);

- выбор подходящего алгоритма для реализации математической модели (последовательность математических и логических операций для вычисления заданных величин с заданной степенью точности);

-создание компьютерных программ (перевод модели и алгоритма на доступный компьютеру язык);

- проверка гипотез и теорий

а) эксперимент

б) численный эксперимент – вычисления на компьютере– это моделирование работы системы для некоторого набора параметров системы. Как правило, этим методом пользуются, когда экспериментальные данные о поведении системы ограничены.

- прогноз временного поведения процесса при различных условиях.

Верификация и идентификация моделей. Верификация – это проверка прогнозирующей способности модели.

Идентификация – определение параметров модели.

Модификация моделей. Упрощенные модели иногда называют минимальными.

Создав триаду: «модель»Þ «алгоритм» Þ «программа» исследователь получает универсальный, гибкий и недорогой инструмент, который вначале отлаживается, проверяется путем сравнения с независимыми знаниями (эксперименты с реальными объектами). Далее вычисления с использованием верифицированной модели позволяют получать исчерпывающую информацию об объекте исследований.

Будучи методологией, математическое моделирование не подменяет физики, химии и биологии, а напротив, помогает разобраться в очень сложных процессах.

Например, при исследовании ионообменных мембран в процессе электродиализа при токах выше предельного наблюдаются осцилляции электрического потенциала (б). Однако они возникают не всегда. Результаты математического моделирования (решение уравнений Нернста-Планка-Фурье и Навье-Стокса) позволили объяснить это явление возникновением гравитационной конвекции (рисунок а), в процессе которой возникающие вихри доставляют порции более концентрированного раствора к поверхности мембран.

система уравнений имеет следующий вид:

,                                         (1)

, ,                                           (2)

,                                                                      (3)

,                                                                      (4)

,                                   (5)

,                              (6)

,                                                                          (7)

где Ñ – градиент, D – оператор Лапласа,  – разность, приращение;  – плотность архимедовых сил плавучести,  – изменение плотности,  – характерная плотность раствора, – ускорение свободного падения,  – потоки, концентрации и напряженность электрического поля,  – коэффициенты диффузии и заряды ионов i -го сорта, R_i – источник ионов, обусловленный химической реакцией, n, l – коэффициенты кинематической вязкости и теплопроводности,  – плотность электрического тока,  – скорость течения жидкости, F – число Фарадея, R – универсальная газовая постоянная, P – давление, T – абсолютная температура,  – удельная теплоемкость раствора, Q – плотность заряда фиксированных групп ионов в мембране (Q = 0 для раствора и Q ¹ 0 для мембраны). При этом  – неизвестные функции, в общем случае зависящие от времени t и координат x, y, z, а остальные величины считаются известными.

Здесь (1) – уравнение Нернста-Планка c учетом соотношения Нернста-Эйнштейна D_i = RTu_i, (2) – условие материального баланса, (3) – условие электронейтральности, (4) – условие протекания электрического тока, (5) – уравнение теплопроводности, (6),(7) – уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска.

 

Рисунок 1 - Результаты математического моделирования (а) и хронопотенциограммы (б) мембранных систем

Процесс моделирования сопровождается при необходимости улучшением и уточнением всех звеньев триады.

Основные принципы моделирования:

1) Использование фундаментальных законов природы (закон сохранения материи, энергии, импульса; закон сохранения электронейтральности).

2) Вариационные принципы: из всех возможных вариантов поведения объекта выбираются лишь те, которые удовлетворяют определенному условию. (Обычно некоторая связанная с объектом величина достигает экстремального значения при переходе его из одного состояния в другое).

3) Применение аналогий при построении моделей с уже изученными объектами (если нет уверенности в существовании таких законов или пока не хватает знаний: автоколебательные химические реакции и рост популяции населения)

В 1951 Б. П. Белоусов обнаружил автоколебания в реакции окисления бромата калия КBrO₃ малоновой кислотой HOOC-CH₂-COOH в кислой среде в присутствии катализатора — ионов церия Ce⁺³.

Течение реакции меняется со временем и раствор периодически меняет цвет от бесцветного (Ce⁺³) к жёлтому (Ce⁺⁴) и обратно. Эффект ещё более заметен в присутствии индикатора pH ферроина. Наиболее эффектно выглядит колба, если вместо ионов церия в неё поместить ионы железа Fе²⁺. Тогда раствор в колбе может часами со строгой периодичностью изменять цвет во всем видимом диапазоне от рубиново-красного до небесно-голубого.

В 1969 Жаботинский (аспирант Белоусова) с коллегами обнаружили, что если реагирующую смесь разместить тонким плоским слоем, в нём возникают волны изменения концентрации, которые видны невооружённым глазом в присутствии индикаторов.

 

Данные промысла зайца (сплошная кривая) и рыси (пунктирная) в Гудзоновом заливе в течение второй половины XIX века

Экспериментальные данные, полученные в реальной многокомпонентной и открытой среде с множеством неучтенных взаимодействий, указывают на факт наличия устойчивых колебаний популяций.

 

Попытки математического описания динамики численности отдельных биологических популяций и сообществ имеют солидную историю. Одна из первых моделей динамики роста популяций принадлежит Т. Мальтусу (1766–1834), английскому экономисту и священнику.

В своем труде «Опыт о законе народонаселения» (1798 г.) Мальтус утверждал, что в человеческом обществе, как и во всей живой природе, существует абсолютный закон безграничного размножения особей. При этом рост населения Земли идет в геометрической прогрессии, в то время как средства существования увеличиваются лишь в арифметической.

Математическим описанием этих закономерностей занимается математическая экология – наука об отношениях растительных и животных организмов и образуемых ими сообществ между собой и с окружающей средой.

Первым успехом математической экологии стала модель, предложенная итальянским математиком Вито Вольтерра (1860 – 1940) в книге «Математическая теория борьбы за существование» (1931 г.).

 

где N ₁, N ₂ – число жертв и хищников, соответственно, в момент t; a ₁, a ₂ – постоянные коэффициенты; относительный прирост в единицу времени численности жертв, живущих изолированно (в отсутствие хищников), равен е ₁, в то время как хищники, отделенные от своих жертв, постепенно умирают с голоду, и относительное падение их численности в единицу времени составляет е ₂.

Совпадение уравнений, описывающих колебания пружинного маятника и численность особей в системе «хищник – жертва», позволяет утверждать, что число хищников и жертв должно изменяться колебательным образом с периодом .

 

Интерактивная модель эволюции хищник-жертва имеется на http://www.nature.ok.ru/models/prey_predator.htm

 

 

Изменение численности акул и скумбрий в воображаемом океане (результаты моделирования на компьютере). По ординате - число особей, по абсциссе - время в относительных единицах, T_с и T_а - интервалы времени, через которые у скумбрий и акул, соответственно, появляется потомство. Верхние кривые - изменение численности скумбрий, нижние - акул

 

 

Рассмотрим систему

При изменениях напряжения на обкладках конденсатора по гармоническому закону

U = U_mcos wt                                                                   (4.16)

заряд на его обкладках изменяется по закону: 

Из сравнения (4.16) и (4.17) следует два вывода: ток по фазе на p /2 при разрядке конденсатора опережает колебания напряжения на его обкладках и емкостное сопротивление х_с, равное отношению амплитуды напряжения на конденсаторе к амплитуде силы тока, равно:     

Емкостное сопротивление обратно пропорционально емкости конденсатора и циклической частоте переменного тока.

4) Иерархический подход к построению моделей. Лишь в редких случаях бывает оправданным построение полных математических моделей даже очень простых объектов (с учетом всех факторов, учитывающих их поведение). Идут «от простого к сложному», когда следующий шаг делается после изучения достаточно простой модели.

Имитационное моделирование.

При построении имитационного моделирования наряду с классическими уравнениями, отражающими законы физики и химии, используются эмпирические уравнения. Эмпирические уравнения используются в том случае, когда система является очень сложной и трудно понять механизмы её функционирования.

· Для получения эмпирического уравнения проводят серию экспериментов.

· Для минимизации затрат на экспериментальную работу используется наука – планирование эксперимента.

Пример. Допустим, что требуется перевести систему из состояния А в состояние В. Для того, чтобы это сделать, нужно определить значение управляющих параметров, которые обеспечивают решение данной задачи. Обычно набор таких параметров бывает не единственным, тогда задача уточняется: находится такой набор параметров, который позволяет минимизировать некие целевые функции.

Пример построения модели: Предмет сбрасывается с некоторой высоты H. Определить, на какой высоте он находится в момент времени t.

1- Подход с позиций 2-го закона Ньютона (фундаментальный этап):

 

- расстояние, на которое опускается предмет за время t.

 

2- Имитационный подход:

                                       − поправка на сопротивление воздуха и ветер, F − функция формы предмета, W − скорость ветра.