Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Гурвица

Для определения устойчивости систем любого порядка приме­няют алгебраический критерий А. Гурвица: система будет устойчи­вой, если определитель Гурвица, все его диагональные миноры и пер­вый коэффициент характеристического уравнения а; положительны:

Определитель Гурвица строят по коэффициентам характеристического уравнения:

Существует правило: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от <2; до а_к в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно убывающими индексами. Максимальный индекс коэффициента п (и - порядок характеристического уравнения), минимальный нуль. Столбец заполняется до положенного числа п элементов нулями.

Номер диагонального минора определяется номером коэффи­циента по диагонали, для которого составляется данный минор.

Для рассматриваемого примера характеристическое уравнение имеет вид

Коэффициенты характеристического уравнения:

 

       Все определители больше нуля, условие выполняется. Вывод - система устойчива.

 

Определение устойчивости скорректированной системы с помощью критерия Михайлова

Годограф Михайлова строят обычно следующим образом:

1. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересе­кает вещественную ось. Для этого полагают, что М(ω) = 0. Значения модуля вектора D (jω) получают подстановкой в В (ω) частот, при ко­торых происходит пересечение с вещественной осью.

2. Находят частоты, при которых годограф Михайлова пересе­кает мнимую ось. Для этого полагают В (ω) = 0. Значения модуля век­тора D (jω) получают подстановкой в М(ω) частот, при которых про­исходит пересечение с мнимой осью.

Если система устойчива, то полученные частоты должны чере­доваться: частоты с вещественной осью – ω₁, ω₃, ω₅- и т.д.; частоты пересечения с мнимой осью – ω₂, ω₄, ω₆ и т.д. Причем:

ω ₁ < ω₂< ωз< ω₄ и т.д. (ω ₁ < ω₂< ωз< ω₄ и т.д.).

Строим годограф Михайлова для рассматриваемого варианта. Характеристический полином D (jω) имеет вид:

Найдем частоты, при которых годограф пересекает веществен­ную ось. При этом М(ω)= 0.

Найдем модули вектора D (jo) для этих частот. Для этого под­ставляем ω и ωз в В(ω):

Найдем частоты, при которых годограф пересекает мнимую ось. При этом В(ω)= 0.

Отбрасывая отрицательные значения корней уравнения (час­тот), получим:

Найдем модули вектора D (jω) для этих частот. Для этого под­ставляем ω₂ и ω₄ в М(ω):

Рис.15. Годограф Михайлова

Имеем систему 4-го порядка. Годограф Михайлова охватывает начало координат и последовательно проходит 4 квадранта, а вектор D (jω) поворачивается против часовой стрелки на угол 4п/2. Следовательно, система устойчива.