По теме «Степени и корни. Степенная функция.»

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

По теме «Степени и корни. Степенная функция.»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Степени и корни. Степенная функция.» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанным темам. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.

Тема: СТЕПЕНИ И КОРНИ. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Корень –ой степени и его свойства

Определение: Корнем -ой степени (  – натуральное число, отличное от 1) из числа  называется такое число , -ая степень которого равна числу .

, где .

Определение: Арифметическим корнем -ой степени от отрицательного числа  называется неотрицательное число , -ая степень которого равна числу .

Свойства: Для положительных чисел  при  для корней –ой, ой степени

1. ;                              2.  ;

3. = ;                        4. = ;

5.  = ;                              6.  = .

 

Иррациональные уравнения

Определение: Иррациональным уравнением называют уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.

Способы решения иррациональных уравнений:

1. Возведение обеих частей уравнения в одинаковую степень

Алгоритм:

а) преобразовывая данное иррациональное уравнение, приводим его к виду:

 =  ;

б) возводим обе части уравнения в –ую степень  =  и получим уравнение вида  = , способ решения которого известен;

в) решаем последнее уравнение, затем делаем проверку, подставляя значения его корней в данное уравнение. Значения корней, удовлетворяющих данное уравнение, берем в качестве решения.

Значения корней, не удовлетворяющих данное уравнение, называются посторонними корнями.

 

2. Введение новой переменной.

Дифференцирование и интегрирование степенной функции

Теорема 1: Если х>0 и ∝ - любое действительное число, то производная функции = вычисляется по формуле

=  = ∝

Теорема 2: Если ∝≠-1 общий вид первообразной степенной функции у =  определяется по формуле

.

УПРАЖНЕНИЯ С РЕШЕНИЯМИ

Корень –ой степени и его свойства

Пример 1. Вычислите:

а)  ; б) ; в) ; г)   .

Решение:

а)  =  и  = - , так как  =  и  =  .                                                     

Ответ:  и -

 

б)  = 3, так как  = 27.                                                                                                 

Ответ: 3

 

в)  = - , так как  = -  .     

Ответ: -

г)  = 4, так как  = 64.                                                                                                   

Ответ: 4

Пример 2. Найдите значение выражения:

а) ; б)  · в)   г)   д)   е)

 ж)  ·

Решение:

а)  =  · = 2 · 5 = 10                           

Ответ: 10

 

б)  · = =  = 2                     

Ответ: 2

 

в)  =  =  =                                              

Ответ:

 

г) =  = 2                                                 

Ответ: 2

 

д)  = ) ³ = 2 ³ = 8                                  

Ответ: 8

 

е)  =                                            

Ответ: 3

ж)  ·  = = = =  = 4                                                              

Ответ: 4

 

 

Пример 3. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) б)      в)

Решение:

а) =            

Ответ:

 

б)  =  =

Ответ:

в)  =  = -2

Ответ: -2

Пример 4. Внесите под знак корня:

а) б)     в)

Решение:

а)  , так как корень третьей степени, внесем число 4 под корень с показателем 3.

 =  =                              

Ответ:

 

б)  , так как  - неотрицательное число и корень четвертой степени, под знак корня внесем число  с показателем 4.

 =                                        

Ответ:

 

в)  , так как корень восьмой степени, внесем число  под корень с показателем 8.

 = =                        

Ответ:

 

Пример 5. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

 а) б)   в)

 

Решение: необходимо умножить числитель и знаменатель на сопряженную дробь

а)  =  =  =  =                        

Ответ:

 

б)  =  =  =  =               

Ответ:

 

в)  =  = =  = -   

Ответ:

Иррациональные уравнения

Пример 1. Решите уравнение:

а) б)    в) x - 8         

Решение: Обе части этого уравнения возведем вквадрат, откуда получаем исходное уравнение, находим корни и проверяем полученные числа, путем подстановки являются ли решениями уравнения. 

а)  , ⟹  = , ⟹  = 0, ⇒ , ₂ . Сразу ясно, что число -1 не является корнем уравнения, так как обе части не определены при ₂ . При подстановке в уравнение 2 получаем верное равенство . Следовательно, решением является .

Ответ:

б) ⟹  = 4 - , ⟹  = 10, ⇒  При подстановке в уравнение 5 получаем, что данное число не является корнем уравнения. Следовательно, уравнение не имеет решения.

Ответ: Ø

в) x – 8, по определению  - это неотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Уравнение x – 8 равносильно системе

Из первого уравнения получим , получим корни 11 и 6, но условие  выполняется только для  = 11.

Ответ:  = 11.

 

Пример 2. Решите уравнение:

а)

Решение: Обе части этого уравнения возведем вкуб: )³ ⟹ , откуда получаем исходное уравнение, находим корни и проверяем полученные числа, путем подстановки являются ли решениями уравнения. 

⟹ ⟹ ⟹ ⟹ , ₂

Ответ: , ₂

Пример 3. Решите систему уравнений:

а)

Решение: Положим , получим систему

Разложим левую часть второго уравнения на множители: )  и подставим в него из первого уравнения = 4. Тогда получим систему уравнения, равносильную второй:

Подставляя во второе уравнение значение , найденное из первого , приходим к уравнению , т.е. .

Полученное квадратное уравнение имеет два корня: . Соответствующие значения  таковы: . Переходим к переменным , получаем: , т.е. , .

Ответ: (1;27), (27,1)

Решение:

а)  =                                                                                 

Ответ:  

 

б)  =                                                                                              

Ответ:

 

в) =                                                                    

Ответ:

Пример 2. Представьте выражение в виде корня:

а) б) в)

Решение:

а)  =                                                                                      

Ответ:

б) =  =                                                                                 

Ответ:

 

в)     =                                                                       

Ответ:

Пример 3. Найдите значение числового выражения:

а) б) )   в)  -

Решение:

а)  =  =  = 2 · 5 = 10                                

Ответ: 10 

 

б) ) = =  = 2 · 27 = 54                                                    

Ответ: 54 

 

в)  -  = 9 +  -  = 9 + 27 – 5 = 31                                

Ответ: 21 

 

Пример 4. Упростите выражения:

 

а) б)  

Решение:

а)  =  =  =                                   

Ответ:

 

б)  =  =                               

Ответ:

Пример 5. Сравните числа:

 

а) б)         

Решение:

а) , запишем  в виде степени с рациональным показателем: . Получаем , так как

Ответ:

 

б) . Запишите эти числа в виде степеней с одинаковыми показателем: , , так как 8<9, получаем

Ответ:

Степенная функция, ее свойства и график

Пример 1. Постройте схематически график функции y = f(x):

а)    б)

 

Решение:

а)                                                   б)

         y                                            y

 

 

 

 

          0            x                               0               x

 

 

ДИДАКТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ

Корень –ой степени и его свойства

1. Вычислите:

а)                               б)                  

Ответ: 10                          Ответ:  и -

в)                                          г)                          

Ответ:                         Ответ:  и -

2. Найдите значение выражения:

а)                                б)  ·                   

Ответ: 3                         Ответ: 6  

 

 

в)                            г)                          

Ответ: 5                          Ответ:

 

д)                            е)  +              ж)  ·       

Ответ: 9                            Ответ: 2                Ответ: 9 

 

3. Вынесите множитель из-под знака корня:

а)                                б)                            

Ответ:                    Ответ: 2

 

в)                                 г)                         

Ответ:                Ответ:

 

4. Внесите под знак корня:

а)                                         б)                           в)                   

Ответ:                 Ответ:                       Ответ:

5. Освободите от иррациональности знаменатель дроби:

а)                               б)                              в)                                    

Ответ:                     Ответ:                                Ответ:

 

г)                           д)                                  

Ответ:       Ответ:

 

Иррациональные уравнения

1. Решите уравнение:

а)                              б)            

Ответ: , ₂                Ответ: 8  

 

в)                  г)                        

Ответ:  = 0,  = 1                             Ответ:  = 5

2. Решите уравнение:

а)  = 3                 б)             

Ответ:  = -10,  = 2                Ответ:  = 61

3. Решите систему уравнений:

а)                              б)                           

Ответ: (27;1), (-1;-27)                Ответ: (16;4), (36;1

ПРАКТИЧЕСКАЯ ТЕТРАДЬ

по теме «Степени и корни. Степенная функция.»

Пояснительная записка:

Практическая тетрадь «Степени и корни. Степенная функция.» предназначена в первую очередь для самоконтроля учащихся усвоения ЗУН по вышеуказанным темам. Учителя могут использовать данный материал при подготовке учащихся средней школы к итоговой аттестации по алгебре и началам анализа.