Существование конечного поля

Теорема 1. Пусть H - поле характеристики p ¹ 0. Тогда для любого числа k Î N и для любых элементов   a, b Î H справедливы свойства:

Доказательство. 1)Докажем первое утверждение теоремы методом математической индукции по k. Пусть k = 1. Тогда имеем

      (3)

Так как p  - простое число, то при 0< i < p биноминальный коэффициент

.

Поэтому при всех таких i

.

Таким образом, из (3) получаем, что

Предположим, что формула 1 верна при k и докажем ее для k + 1. По доказанному выше и по индуктивному предположению выводим:

.

2) Так как для четного числа p для любого элемента b Î H имеем   2×b = 0, b + b = 0, -b = b, то получаем .

Свойства 3 и 4 следуют из определения поля.ÿ

Теорема 2. Пусть p – простое число, n – натуральное число, q = pⁿ. Тогда поле разложения H над полем Z _p многочлена f (x) = x^q – x есть конечное поле из q элементов.

Доказательство. Все корни многочлена f (x)лежат в поле H. Рассмотрим множество F  всех корней многочлена   f (x). Если a, b - корни многочлена f (x), то

, т.е. .

Тогда по теореме 1

Следовательно, для любых элементов из F их сумма, разность, произведение, частное, если знаменатель не равен нулю, принадлежит F. Тогда F – подполе поля H, содержащее все корни многочлена f (x). В силу минимальности поля разложения получаем H = F. ÿ

Теорема 3. Для любого простого числа p и для любого натурального числа n существует конечное поле, содержащее q = pⁿ элементов.

Доказательство. В силу теоремы 2 таким полем является поле разложения многочлена f (x) = x^q – x. ÿ

 

Порядок элемента конечного поля и его свойства

Пусть (F_q ^*, +) – мультипликативная группа конечного поля F_q. Так как порядок этой группы равен q -1, то для любого элемента  a Î F_q ^* имеем   равенство

a^{q - 1}= 1.                                                      (1)

Определение 1. Порядком элемента a Î F_q ^* называется наименьшее натуральное число d, для которого выполняется условие

a ^d= 1.                                                      (2)

Порядок элемента обозначается через ord a.

Теорема 1. Для любого элемента   a Î F_q ^* выполняются свойства:

1) порядок ord a существует и ord a  £ q – 1;

2) ord a   делит q – 1;

3) для любого натурального числа n

.

4) для любого натурального числа n и для любого элемента a Î F_q

.

Доказательство.

1) Следует из равенства (1).

2) Следует из того, что порядок элемента конечной группы является делителем порядка группы.

3) Следует из того, что q – 1 делит qⁿ – 1.

4) Для a = 0 очевидно, а для a ¹0 следует из 3).ÿ

Теорема 2. Для любого элемента   a Î F_q ^* порядка d выполняются свойства:

1⁰ для любых натуральных чисел a ^m = a ^k тогда и только тогда, когда         m º k (mod d);

2⁰ все элементы множества

1, a, a ², …, a ^d-1                                                   (3)

различны;

3⁰ элементы множества (3) есть все корни многочлена

x ^d - 1;                                                     (4)

4⁰ для любого натурального числа k порядок элемента a^k равен .

5⁰ для любого натурального числа k ord a^k = d тогда и только тогда, когда числа k и d взаимно простые;

6⁰ число элементов b Î F_q порядка d равно j(d).  

Доказательство. Свойства 1⁰ и 2⁰ следуют из свойства порядка элемента мультипликативной группы.

3⁰ Так как для любого натурального числа k

,

то все элементы множества (3) являются корнями многочлена (4). Так как многочлен степени d над полем F_q имеет не более d корней, то все корни многочлена (4) исчерпываются элементами множества (3).

4⁰ Пусть ord a^k = m. Тогда

.

Тогда по следствию теоремы Лагранжа d делит km. Поэтому

.

Так как числа

взаимно простые, то

.                                                     (5)

С другой стороны,

.

Поэтому

.                                                     (6)

Из (5) и (6) следует, что

.                                            (7)

5⁰ Пусть числа k иd взаимно простые. Тогда НОД(k, d) = 1 и из формулы (7) следует, что ord a^k = d. Обратно, если ord a^k = d, то из формулы (7) следует, что НОД(k, d) = 1 и числа k иd взаимно простые.

6⁰ По определению всяких элемент b порядка d корень уравнения (4). По свойству 3⁰ все корни уравнения (4) исчерпываются элементами множества (3). По свойству 5⁰ элемент a^k  из множества (3) имеет порядок k тогда и только тогда, когда (k, d) = 1. Таким образом, элементов порядка d в поле F_q столько, сколько во множестве {0, 1, …, d -1} имеется чисел взаимно простых с числом d. По определению функции Эйлера таких чисел j(d). Следовательно, в поле F_q имеется j(d) элементов, имеющих порядок d.ÿ