Спектральное представление матрицы рассеяния и его применение для анализа устройств СВЧ

Рассмотрим такое возбуждение устройства СВЧ, при котором амплиту­ды отраженных волн на всех его входах с точностью до некоторой ве­личины  равны амплитудам падающих волн, т. е. должно выполнять­ся равенство  

 (1.44)

Если матрица рассеяния  известна, то определение столбца а и числа  сводится к решению однородной системы уравнений, которая выте­кает из (1.44):  (1.45)

Для существования нетривиальных решений этой системы  необходимо, чтобы определитель системы обращался в ноль, т. е.  Этот определитель является уравнением N -й степени относительно  и называется характеристическим уравнением матрицы   Оно имеет N корней  (n=1, 2,..., N), каждый из которых называется собственным числом, а их совокупность - спектром матрицы   Каждому собственному числу  соответствует решение  урав­нения (1.45), называемое собственным вектором матрицы   Для определения этого вектора нужно в определитель системы (1.45) подставить . Тогда N алгебраических дополнений любой строки или любого столбца этого определителя будут пропорциональны элементам вектора  Таким образом, из решения уравнения (1.45) определены N собственных чисел  и N собственных векторов  матрицы  Можно показать, что собственные векторы матрицы  соответствующие невыро­жденным собственным числам, ортогональны и могут быть пронормированы так, чтобы выполнялись равенства

 (1.46)

Это условие нормировки определяет единичный поток мощности, обра­зованный столбцом амплитуд падающих волн через поперечные сече­ния входных линий передачи устройства СВЧ. Система собственных векторов, удовлетворяющая (1.46), называется ортонормированной. Из (1.44) следует первый очевидный физический смысл собственного числа : это есть коэффициент отражения от входов устройства СВЧ при их возбуждении соответствующим собственным вектором  Составим из собственных векторов  модальную матрицу  Тогда уравнение (1.44) можно записать в матричном виде:  (1.47)

где - диагональная матрица собственных чисел. Соотношение (1.47) называется спектральным представлением матрицы рассеяния.

Рассмотрим баланс энергии в устройстве СВЧ при его собствен­ных возбуждениях. Для этого в (1.41), (1.42) положим , тогда, учитывая (1.46) и что , получаем:        (1.48) 

 (1.49)

Из (1.48) следует, что отличие квадрата модуля собственного числа  от единицы определяет удвоенные тепловые потери  в устройстве СВЧ при возбуждении его соответствующим собственным вектором  Если тепловые потери отсутствуют при любом возбуждении, то все собственные числа матрицы рассеяния такого устройства СВЧ по модулю равны единице . Из (1.49) следует, что мнимая часть собственного числа пропорциональна разности средних энергий  запасаемых магнитным и электрическим полями в устройстве СВЧ при возбуждении его собственным вектором  Если какое-либо собственное число - действительное, то для данного собственного возбуждения  что соответствует резонансу в устройстве СВЧ. При этом, как следует из (1.3),  соответствует резонансу напряжений, а  - резонансу токов.

На рис. 1.5 показано возможное расположение векторов на комплексной плоскости, соответствую­щих различным . При возбуждении устройства СВЧ собственными векторами, соответствующими  и , потери отсутствуют (так как = 1). Во всех остальных случаях имеются потери. В устрой­стве СВЧ наблюдается резонанс то ков для возбуждения, соответствующего , И резонанс напряжений для возбуждений, соответствующих  и Таким образом, зная матрицу рассеяния устройства СВЧ и определив по ней собственные векторы и собственные числа, можно по ним установить наличие или отсутствие тепловых потерь, резонанса и его тип. Спектральное представление матрицы рассеяния, а также мат­риц сопротивлений и проводимостей широко используется в научных исследованиях сложных многополюсных устройств СВЧ и при создании их математических моделей и эффективных алгоритмов расчета их ха­рактеристик.