Метод решения несобственного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку

 

Сразу рассмотрим пример 10 (другое решение см. в примере 8):

Обратим внимание на подынтегральную функцию. Она является чётной. В несобственных интегралах с бесконечными пределами (а значит, симметричным интервалом интегрирования) чётностью пользоваться МОЖНО. Промежуток выгодно споловинить, а результат – удвоить:

 

Несобственные интегралы 2-го рода

(несобственные интегралы от неограниченных функций)

1. Подынтегральная функция не существует в т. x = a

Главный метод: при вычислении несобственного интеграла устремить предел

к значению a справа.

Алгоритм решения:

1. Поверить пределы интегрирования, подставив в подынтегральную функцию.

2. Вычислить неопределённый интеграл, используя известные методы.

3. Подставляем верхний и нижний предел по модифицированной формуле Ньютона-Лейбница, устремив предел к значению а справа.

4. Вычислить полученное выражение.

 

Пример 11:

Подынтегральная функция не определена в т. х=0. Следовательно, функция не ограничена в правосторонней окрестности точки х=0.

 

2. Подынтегральная функция не существует в т. x = b

Главный метод: при вычислении несобственного интеграла устремить предел

к значению b слева.

Алгоритм решения аналогичен предыдущему, единственное отличие в стремлении предела к значению b слева.

 

Пример 12:

Функция непрерывна при 0 ≤ x < 2 и имеет бесконечный разрыв в точке x=2, поэтому

A. Замена переменной в несобственных интегралах 2-го рода

Пример 13 (№ 2342, Демидович):

Функция терпит бесконечный разрыв в т. х=1.

Введём замену:

B. Интегрирование по частям в несобственных интегралах 2-го рода

Пример 14:

Подынтегральная функция не существует в т. х=0. Имеем несобственный интеграл 2-го рода.

Воспользуемся методом интегрирования по частям.

 

3. Точки разрыва на обоих концах отрезка

 

Методика решения аналогична решению интегралов с бесконечными пределами: разделить интеграл на два несобственных интеграла.

Пример 15 (№ 2337, Демидович)

 

Метод решения несобственного интеграла от четной функции по симметричному относительно нуля отрезку

Пример 16:

 

Подынтегральная функция терпит бесконечные разрывы в точках х= -2, х=2. Данная функция является чётной, а интервал интегрирования симметричен относительно нуля.

Интеграл целесообразно споловинить, а результат удвоить.

 

4. Точка разрыва внутри промежутка интегрирования

 

Рассмотрим пример 17:

На концах отрезка интегрирования всё хорошо. Но подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв прямо на отрезке в точке х=1.

Представим несобственный интеграл в виде суммы двух несобственных интегралов:

Имеем несобственные интегралы 2-го рода, алгоритм решения которых представлен в пунктах 1 и 2.