Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость рядов.

Признак Лейбница.

       Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины u_i убывают  и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость рядов.

 

       Рассмотрим некоторый знакопеременный ряд (с членами произвольных знаков).

                                                                                               (1)

и ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (1):

                                                                                           (2)

 

       Теорема. Из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

 

       Доказательство. Ряд (2) является рядом с неотрицательными членами. Если ряд (2) сходится, то по критерию Коши для любого e>0 существует число N, такое, что при n>N и любом целом p>0 верно неравенство:

       По свойству абсолютных величин:

То есть по критерию Коши из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1).

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть - знакопеременный ряд.

       Признак Даламбера. Если существует предел , то при r<1 ряд  будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

       Признак Коши. Если существует предел , то при r<1 ряд  будет абсолютно сходящимся, а при r>1 ряд будет расходящимся. При r=1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Свойства абсолютно сходящихся рядов.

1) Теорема. Для абсолютной сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы его можно было представить в виде разности двух сходящихся рядов с неотрицательными членами.

 

       Следствие. Условно сходящийся ряд является разностью двух расходящихся рядов с неотрицательными стремящимися к нулю членами.

 

       2) В сходящемся ряде любая группировка членов ряда, не изменяющая их порядка, сохраняет сходимость и величину ряда.

3) Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный из него любой перестановкой членов, также абсолютно сходится и имеет ту же сумму.

Перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить условно сходящийся ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

       4) Теорема. При любой группировке членов абсолютно сходящегося ряда (при этом число групп может быть как конечным, так и бесконечным и число членов в группе может быть как конечным, так и бесконечным) получается сходящийся ряд, сумма которого равна сумме исходного ряда.

       5) Если ряды и  сходятся абсолютно и их суммы равны соответственно S и s, то ряд, составленный из всех произведений вида  взятых в каком угодно порядке, также сходится абсолютно и его сумма равна S × s - произведению сумм перемножаемых рядов.

       Если же производить перемножение условно сходящихся рядов, то в результате можно получить расходящийся ряд.

Функциональные ряды. Критерий Коши равномерной сходимости ряда.

 

Функциональные ряды. Признак равномерной сходимости Вейерштрасса.

Свойства равномерно сходящихся рядов.

Теоремы Абеля.

Действия со степенными рядами.