Принципы АЦП. Дискретизация по времени.

Сущность дискретизации аналоговых сигналов заключается в том, что непрерывность во времени аналоговой функции s(t) заменяется последовательностью коротких импульсов, амплитудные значения которых cn определяются с помощью весовых функций, либо непосредственно выборками (отсчетами) мгновенных значений сигнала s(t) в моменты времени tn.Представление сигнала s(t) на интервале Т совокупностью дискретных значений cn записывается в виде:

(с1, с2,..., cN) = А[s(t)],

где А - оператор дискретизации. Запись операции восстановления сигнала s(t):

s'(t) = В[(с1, с2,..., cN)].

Выбор операторов А и В определяется требуемой точностью восстановления сигнала. Наиболее простыми являются линейные операторы. В общем случае:

сn = qn(t) s(t) dt,                                            (2.1)

где qn(t) - система весовых функций.

Отсчеты в выражении (2.1) связаны с операцией интегрирования, что обеспечивает высокую помехоустойчивость дискретизации. Однако в силу сложности технической реализации "взвешенного" интегрирования, последнее используется достаточно редко, при высоких уровнях помех. Более широкое распространение получили методы, при которых сигнал s(t) заменяется совокупностью его мгновенных значений s(tn) в моменты времени tn. Роль весовых функций в этом случае выполняют гребневые (решетчатые) функции. Отрезок времени t между соседними отсчетами называют шагом дискретизации. Дискретизация называется равномерной с частотой F=1/t, если значение t постоянно по всему диапазону преобразования сигнала. При неравномерной дискретизации значение t между выборками может изменяться по определенной программе или в зависимости от изменения каких-либо параметров сигнала.

Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s(t), имеющий конечный и достаточно компактный фурье-образ S(f). Равномерная дискретизация непрерывного сигнала s(t) с частотой F (шаг t = 1/F) с математических позиций означает умножение функции s(t) на гребневую функцию Шt(t) = (t-kt) – непрерывную последовательность импульсов Кронекера:

st(t) = s(t)×Шt(t) = s(t) (t-kt) = s(kt)(t-kt).          (3.1)

С учетом известного преобразования Фурье гребневой функции 

Шt(t)  (1/T) (f-nF) = F·ШF(f),                           (3.2)

фурье-образ дискретной функции st(t):

SF(f) = S(f) * F×ШF(f).                                        (3.3)

Отсюда, для спектра дискретного сигнала имеем:

SF(f) = F×S(f) * (f-nF) = F S(f-nF).                     (3.4)

Из выражения следует, что спектр дискретного сигнала представляет собой непрерывную периодическую функцию с периодом F, совпадающую (при определенных условиях конечности спектра непрерывного сигнала) с функцией F×S(f) непрерывного сигнала s(t) в пределах центрального периода от -fN до fN, где fN = 1/2t = F/2. Частоту fN (или для круговой частоты N = /t) называют частотой Найквиста. Центральный период функции SF(f) называют главным частотным диапазоном.

Интуитивно понятно, что если спектр главного частотного диапазона с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром непрерывного сигнала, то по этому спектру может быть восстановлена не только форма дискретного сигнала, но и форма исходного непрерывного сигнала. При этом шаг дискретизации и соответствующее ему значение частоты Найквиста должны иметь определяющее значение.