Уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Пусть на координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы:

а) точка

б) ненулевой вектор  
Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной прямой, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой прямой.

Пусть  произвольная или, как говорят, текущая   точка

нашей прямой.Для всех точек этой прямой и только для них характеристическим свойством, определяющим эту прямую, является перпендикулярность векторов .

   Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения Получили   векторное уравнение прямой. Найдем координатную форму записи векторного уравнения прямой. Так как, М M= (x-x )i + (y - y )j, ,то имеем

Полученное соотношение позволяет по координатам точки

и координатам А, В нормали записать уравнение прямой без промежу­точных вычислений.

Пример.1 Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение. Найдем координаты вектора , который является вектором нормали к нашей прямой .Уравнение высоты:

  6(x -12)+4(y +1) =0; 3x+2y-34=0.

 

 2.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

Задача. Что представляет из себя фигура на плоскости, описываемая уравнением (1)

Решение. Пусть точка принадлежит нашей фигуре, тогда Ax  +By  + C 0 (2). Вычитая из (1) (2), получим

(3)

Уравнение (3) получено из (1) тождественным преобразованием,

Поэтому оба уравнения описывают одну и ту же фигуру.Но (3)

описывает прямую линию на плоскости, проходящую через точку перпендикулярно ненулевому вектору

. Уравнение (1)  называют общим уравнением прямой на плоскости. коэффициенты а и bв общем уравнении прямой имеют простой геометри­ческий смысл. Это координаты вектора, перпендикулярного прямой.   

Замечания

1. При составлении общего уравнения прямой нормаль выбирается не­однозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали , а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор также является нормалью). Например, вместо нормали можно взять нормаль - , что соответствует умножению обеих частей уравнения на число

2. Если один из коэффициентов уравнения прямой равен нулю, общее уравнение прямой принимает один из следующих частных ви­дов:

а)если уравнение имеет вид или

уравнение прямой, параллельной оси абсцисс; при прямая совпадает с осью

б)если уравнение имеет вид

уравнение прямой, параллельной оси ординат; при прямая  совпадает с осью ;

в)если , уравнение имеет вид - уравнение прямой, проходящей через начало координат.

Уравнения прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору

ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ

Уравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору

Пусть на координатной плоскости (в прямоугольной системе координат) заданы:

а) точка

б) ненулевой вектор  
Требуется составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Ненулевой вектор , перпендикулярный заданной прямой, называется нормальным вектором (или, короче, нормалью) для этой прямой.

Пусть  произвольная или, как говорят, текущая   точка

нашей прямой.Для всех точек этой прямой и только для них характеристическим свойством, определяющим эту прямую, является перпендикулярность векторов .

   Условие ортогональности запишем при помощи скалярного произведения Получили   векторное уравнение прямой. Найдем координатную форму записи векторного уравнения прямой. Так как, М M= (x-x )i + (y - y )j, ,то имеем

Полученное соотношение позволяет по координатам точки

и координатам А, В нормали записать уравнение прямой без промежу­точных вычислений.

Пример.1 Даны вершины треугольника А(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Найти уравнение высоты, проведенной из вершины С.

Решение. Найдем координаты вектора , который является вектором нормали к нашей прямой .Уравнение высоты:

  6(x -12)+4(y +1) =0; 3x+2y-34=0.

 

 2.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

Задача. Что представляет из себя фигура на плоскости, описываемая уравнением (1)

Решение. Пусть точка принадлежит нашей фигуре, тогда Ax  +By  + C 0 (2). Вычитая из (1) (2), получим

(3)

Уравнение (3) получено из (1) тождественным преобразованием,

Поэтому оба уравнения описывают одну и ту же фигуру.Но (3)

описывает прямую линию на плоскости, проходящую через точку перпендикулярно ненулевому вектору

. Уравнение (1)  называют общим уравнением прямой на плоскости. коэффициенты а и bв общем уравнении прямой имеют простой геометри­ческий смысл. Это координаты вектора, перпендикулярного прямой.   

Замечания

1. При составлении общего уравнения прямой нормаль выбирается не­однозначно: можно выбрать любую, отличную от нуля, длину нормали , а также одно из двух возможных направлений (противоположный вектор также является нормалью). Например, вместо нормали можно взять нормаль - , что соответствует умножению обеих частей уравнения на число

2. Если один из коэффициентов уравнения прямой равен нулю, общее уравнение прямой принимает один из следующих частных ви­дов:

а)если уравнение имеет вид или

уравнение прямой, параллельной оси абсцисс; при прямая совпадает с осью

б)если уравнение имеет вид

уравнение прямой, параллельной оси ординат; при прямая  совпадает с осью ;

в)если , уравнение имеет вид - уравнение прямой, проходящей через начало координат.