Опорная функция и ее основные свойства

 

Определение 4. Пусть задано некоторое множество  Опорной функцией множества  называется скалярная функция  векторного аргумента  определяемая условием

 

        

 

Множество  также считается одним из аргументов функции . Зафиксируем множество . Функция  как функция аргумента  отображает пространство  в числовую ось  Максимум в правой части равенства достигается, так как скалярное произведение  непрерывно по  а множество  компактно.

Пусть  некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества , на котором достигается максимум в определении опорной функции для вектора , то есть выполняется равенство

 

 

 

В этом случае вектор  называется опорным вектором к множеству  в точке , а совокупность  всех векторов , удовлетворяющих равенству, называется опорным множеством к множеству  в направлении вектора . Гиперплоскость  в пространстве  определяемая соотношением

 

 

называется опорной гиперплоскостью к множеству  в направлении вектора

Для опорного множества  справедливо представление

Гиперплоскость  разбивает все пространство  на два полупространства  и  Множество  лежит в отрицательном полупространстве  относительно вектора , так как для всех точек  выполняется неравенство

Свойства опорных функций

1. Опорная функция  положительно однородна, то есть

 

для любого вектора  и любого числа . В частности, .

. Для любых двух векторов  опорная функция удовлетворяет неравенству

 

 

Следствие 1. Опорная функция  является выпуклой.

. Пусть  Тогда опорная функция  суммы  равняется сумме двух опорных функций  и , то есть

 

 

4. Пусть  - матрица размером , а  Тогда

 

 

где  матрица, транспонированная к матрице А.

. Пусть  a  произвольное число. Тогда

 

 

Следствие 2. Опорная функция  положительно однородна по первому аргументу , то есть  для любого числа .

. Пусть  Если выполняется включение , то для любого вектора  справедливо неравенство

 

 

Следствие 3. Пусть  Если точка  принадлежит множеству , то для любого вектора  выполняется неравенство

. Пусть  Тогда опорные функции множеств  и  совпадают, то есть

 

 

. Пусть заданы множество  и его опорная функция . Тогда выпуклая оболочка  множества  представляется в виде

 

 

Здесь и далее S - единичная сфера с центром в начале координат.

9. Пусть  Если для любого вектора  выполняется неравенство

 

    

 

то точка  принадлежит выпуклой оболочке  множества

Следствие 4. Пусть множество  В таком случае точка  принадлежит множеству  тогда и только тогда, когда неравенство выполняется для любого вектора .

. Пусть  Если для любого вектора  выполняется неравенство

 

  

 

то справедливо включение GÌ coF.

Следствие 5. Пусть  и множество  выпукло. Тогда включение  справедливо тогда и только тогда, когда для любого вектора  выполняется неравенство (8).

. Пусть  Если множества  и  равны, то их опорные функции совпадают. Наоборот, если их опорные функции совпадают, то

Следствие 6. Множества  равны тогда и только тогда, когда их опорные функции совпадают. Таким образом, множество  можно однозначно восстановить по его опорной функции .

. Пусть . Если множества  и  пересекаются, то есть , то для любого вектора выполняется неравенство

 

     

 

Наоборот, если выполняется соотношение для любого вектора , то

Следствие 7. Два множества  пересекаются тогда и только тогда, когда неравенство выполняется для любого вектора .

. Опорная функция  для любых двух множеств  и любых двух векторов  удовлетворяет неравенству

 

 

Следствие 8. Опорная функция  непрерывна по совокупности переменных  в любой точке  и, следовательно, непрерывна по каждой из переменных  в отдельности.

. Пусть Если точка  является внутренней точкой множества , то для любого вектора  выполняется неравенство

 

 

 

Наоборот, если соотношение  выполняется для любого вектора , то

Следствие 9. Точка  принадлежит внутренности множества тогда и только тогда, когда неравенство справедливо для любого вектора .

. Пусть заданы два множества  Тогда справедливо соотношение

 

 

 

Следствие 10. Для множеств  справедливо равенство

 

Заметим, что если множества  не являются выпуклыми, то в формуле может быть строгое неравенство.